·68 智能系统学报 第16卷 1=E(z1)A(z1)△+zF(z1) 其中 E(2)B2)=G(2)+zH() E=[e(k+1)e(k+2)...e(k+N)]T Ej(2l)=e1+e2z1+…+e2-w F)=f+f21++f2" (5) 80 0 Gj2)=81+8221+…+82-- 81-80 go H）=片+2+…+12-2 G。= 将式(4)代人式（⑤），得到一阶系统丢番图方 8N-1-8M-28N.-2-8M-3 80 程的解为 ej=j.f=j+1.=-j 8N-1-8N-28N-2-8N-3 ·gN-N-8N-N- 8影=jT,H(2)=0 将式（⑥写为向量形式： 考虑以下PI-GPC算法的性能指标函数： J-K,△E△E+KEE+而⑦= U(00kD K,[△W-△。-G,△W-△7。-G可+ Kw-o-G,w-。-G⑦+0o (6) t∑ak+j-Ir} 当J为最小值时， U=(AI+KGTG+KGG)-1. 式中：K。≥0，K>0是给定常数，称为比例因子和 [K,G(△W-△Ta)+K,G(W-T] (11) 积分因子；△(k+j-1)=0(j=N,N.+1,…,N)表示 令K=[1,0,0,…,0]lx1 当j=N,N+1,…,N时，系统输入不变；N是预测 Au(k)=KT(aI+K GG+KG,G)1. 步长；N是控制步长；而>0)是控制加权系数。 [K,GpT(Am-△7o)+KG,(w-。】 Ae(k+j)=e(k+j)-e(k+j-1) 其中，△u(是的第一个分量。 式中j=1,2…,N。 uk=uk-1)+R(△W-△o)+RW-) 误差序列的计算如式（⑦）所示： e(k+)=w(k+)-yk+) (7) 其中， 设计以下柔化序列w(k+)来使输出平缓达 Rp=KKTI+KGGp+KGG)GT 到给定值： R:=KK(I+KGGp+KGG)G W=[wk+1),w(k+2),…,wk+]'= 则可以得到基于CARIMA模型的PI-ADRG- (8) Fay(k)+Fay,(k) PC算法控制律。 式中：a(0≤a≤1)是柔化因子；y,(k)是参考轨迹； 为了方便计算，本文把所得控制律进行简化。 F=a,a2,…,a];F。=[1-a,1-a2,…,1-a℉。 先定义： j步后的预测输出为 0 0 y+)=G△u(k+j-1)+Fy(k)+H△u(k-1) S 令%(k+)=Fk)+H△u(k-1),所以有 0 y(k+i)=yo(k++GiAu(k+j-1) (9) 0… -1 将式(9)写为向量形式： 则可得G。=SG,△而=SW,△T。=S7。使用上述 Y=Yo+G,U (10) 公式简化式(11)，可以得到： 其中 U=[I+KGISTSG+KGIG]. =+1)yk+2)…yk+N] [K,GS(SW-S7。)+K.G(w-。】= Z=%(k+1)yo(k+2)…J%k+N] (I+G2G,)G2(m-T。) 80 0 81 go Q=KI+KSTS G= 2PI-ADRGPC的离散形式 gN.-1gN-2… 呢 由上述分析可知： gN-18N-2·gN- △u(=hT(W-o) (12) 可=[△()△(k+1)…△u(k+N.-1)] 其中h=[1,0,0,…,0](1+G2G)G2。 根据式(7和式(10)，可得： 将式(8)代入式(12)得： E=w-了=币-。-G可 △u(k)=hr[Fy,k)-(F-F)y(-H△(k-1] △E=△W-△7=△T-△I-G可 即{ 1 = Ej(z −1 )A(z −1 )∆ +z −jFj(z −1 ) Ej(z −1 )B(z −1 ) = Gj(z −1 )+z −jHj(z −1 )    Ej(z −1 ) = e1 +e2z −1 +···+ejz −(j−1) Fj(z −1 ) = f j 1 + f j 2 z −1 +···+ f j n+1 z −n Gj(z −1 ) = g1 +g2z −1 +···+gjz −(j−1) Hj(z −1 ) = h j 1 +h j 2 z −1 +···+h j n−1 z −(n−2) (5) 将式 (4) 代入式 (5)，得到一阶系统丢番图方 程的解为 ej = j, f1 j = j+1, f2 j = −j gj = jT,Hj(z −1 ) = 0 考虑以下 PI-GPC 算法的性能指标函数： J = E {∑N j=1 [Kp(∆e(k+ j))2 +Kie(k+ j) 2 ]+ λ ∑Nu j=1 [∆u(k+ j−1)]2 } (6) Kp ⩾ 0,Ki > 0 ∆u(k+ j−1) = 0 j = Nu,Nu +1,··· ,N j = Nu,Nu +1,··· ,N 式中： 是给定常数，称为比例因子和 积分因子； ( ) 表示 当 时，系统输入不变；N 是预测 步长；Nu 是控制步长；而 λ(λ>0) 是控制加权系数。 ∆e(k+ j) = e(k+ j)−e(k+ j−1) 式中 j = 1,2,··· ,N。 误差序列的计算如式 (7) 所示： e(k+ j) = w(k+ j)−y(k+ j) (7) 设计以下柔化序列 w(k + j) 来使输出平缓达 到给定值： W = [w(k+1), w(k+2), ··· , w(k+N)]T = Fαy(k)+ Fαyr(k) (8) α(0 ⩽ α ⩽ 1) Fα= [α, α2 , ··· , αN ] T ; Fα = [1−α, 1−α 2 , ··· , 1−α N ] T 式中： 是柔化因子；yr (k) 是参考轨迹； 。 j 步后的预测输出为 y(k+ j) = Gj∆u(k+ j−1)+ Fjy(k)+ Hj∆u(k−1) 令 y0(k+ j) = Fjy(k)+ Hj∆u(k−1) ，所以有 y(k+ j) = y0(k+ j)+Gj∆u(k+ j−1) (9) 将式 (9) 写为向量形式： Y = Y0 +GiU (10) 其中 Y = [y(k+1) y(k+2) ··· y(k+N)]T Y0 = [y0(k+1) y0(k+2) ··· y0(k+N)]T Gi =   g0 0 g1 g0 . . . . . . gNu−1 gNu−2 ··· g0 . . . . . . gN−1 gN−2 ··· gN−Nu   U = [∆u(k) ∆u(k+1) ··· ∆u(k+Nu −1)]T 根据式 (7) 和式 (10)，可得： E = W −Y = W −Y0 −GiU ∆E = ∆W −∆Y = ∆W −∆Y0 −GpU 其中 E = [e(k+1) e(k+2) ··· e(k+N)]T Gp =   g0 0 g1 −g0 g0 . . . . . . gNu−1 −gNu−2 gNu−2 −gNu−3 ··· g0 . . . . . . gN−1 −gN−2 gN−2 −gN−3 ··· gN−Nu −gN−Nu−1   将式 (6) 写为向量形式： J = Kp∆E T ∆E+KiE T E+λU T U = Kp[∆W −∆Y0 −GpU] T [∆W −∆Y0 −GpU]+ Ki[W −Y0 −GiU] T [W −Y0 −GiU]+λU T U 当 J 为最小值时， U = (λI+KpG T pGp+KiG T i Gi) −1 · [KpG T p (∆W −∆Y0)+KiG T i (W −Y0)] (11) K = [1,0,0,··· ,0]T 令 Nu×1 ∆u(k) = K T (λI+KpGp TGp +KiGi TGi) −1 · [KpGp T (∆W −∆Y0)+KiGi T (W −Y0)] 其中， ∆u(k) 是 U 的第一个分量。 u(k) = u(k−1)+ R T p (∆W −∆Y0)+ R T i (W −Y0) 其中， Rp = KpK T (λI+KpGp TGp +KiGi TGi) −1G T p Ri = KiK T (λI+KpGp TGp +KiGi TGi) −1G T i 则可以得到基于 CARIMA 模型的 PI-ADRG￾PC 算法控制律。 为了方便计算，本文把所得控制律进行简化。 先定义： S =   1 ··· 0 −1 0 . . . . . . 0 1 0 ··· −1   则可得 Gp = SGi，∆W = SW ，∆Y0 = SY0。使用上述 公式简化式 (11)，可以得到： U = [λI+KpG T i S TSGi +KiG T i Gi] −1 · [KpG T i S T (SW −SY0)+KiG T i (W −Y0)] = (λI+G T i ΩGi) −1G T i Ω(W −Y0) Ω = KiI+KpS TS 2 PI-ADRGPC 的离散形式 由上述分析可知： ∆u(k) = h T (W −Y0) (12) h T = [1,0,0,··· ,0](λI+G T i ΩGi) −1G T 其中 i Ω。 将式 (8) 代入式 (12) 得： ∆u(k) = h T [Fαyr(k)−(F− Fα)y(k)− H∆u(k−1)] 即 ·68· 智 能 系 统 学 报 第 16 卷