秦 4.2 奇异值基本性质 定理设A= V* 是A∈Cmxn(m≥n)的奇异值分解，则 (1)A*A的特征值是σ？，对应的特征向量是5 (2)AA*的特征值是a和m-n个零，对应的特征向量是 (3)|A2=01,AlF=V0+o吃+·+o (4若rank(A=r≤n,则Ran(A)=span{u1,u2,,ur} Ker(A)=span{ur+1,Ur+2,...,Un (⑤)设x∈Cn且xll2=1,则on≤‖Az2≤o1 (⑥（酉不变性）设X∈Cmxm和Y∈Cnxn是酉矩阵，则o(X*AY)=o(A). (证明留作练习) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/384.2 奇异值基本性质 定理 设 A = U " Σ 0 # V ∗ 是 A ∈ C m×n (m ≥ n) 的奇异值分解, 则 (1) A∗A 的特征值是 σ 2 i , 对应的特征向量是 vi (2) AA∗ 的特征值是 σ 2 i 和 m − n 个零, 对应的特征向量是 ui (3) ∥A∥2 = σ1, ∥A∥F = p σ 2 1 + σ 2 2 + · · · + σ 2 n ; (4) 若 rank(A) = r ≤ n, 则 Ran(A) = span{u1, u2, . . . , ur}, Ker(A) = span{vr+1, vr+2, . . . , vn} (5) 设 x ∈ C n 且 ∥x∥2 = 1, 则 σn ≤ ∥Ax∥2 ≤ σ1; (6) (酉不变性) 设 X ∈ C m×m 和 Y ∈ C n×n 是酉矩阵, 则 σi(X∗AY ) = σi(A). (证明留作练习) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/38