秦 定理设A=UV*是A∈Cnxn的奇异值分解，则： (1)|det(A)川=o12…0n (2)若A非奇异，则A-12=om1,2(A)=o1/an (3)若A是Hermite的，且A=UAU*是A的酉特征值分解，设A≥ |2≥·≥入，则A=UV是A的奇异值分解，其中o=A, =sign(i)u,若入i=0,则取=u: 0A* Vi (4)矩阵 的特征值是士，对应单位特征向量 0 士ui (证明留作练习) 西矩阵条件数取决于奇异值，不是特征值，见讲义上的例子 (特征值都是1，但其谱条件数却随着矩阵规模的增长而快速变大). http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/38 定理 设 A = UΣV ∗ 是 A ∈ C n×n 的奇异值分解, 则: (1) | det(A)| = σ1σ2 · · · σn; (2) 若 A 非奇异, 则 ∥A−1∥2 = σ −1 n , κ2(A) = σ1/σn; (3) 若 A 是 Hermite 的, 且 A = UΛU ∗ 是 A 的酉特征值分解, 设 |λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · ≥ |λn|, 则 A = UΣV 是 A 的奇异值分解, 其中 σi = |λi |, vi = sign(λi)ui , 若 λi = 0, 则取 vi = ui ; (4) 矩阵   0 A∗ A 0   的特征值是 ±σi , 对应单位特征向量 1 √ 2   vi ±ui  . (证明留作练习) ✍ 矩阵条件数取决于奇异值, 不是特征值, 见讲义上的例子 (特征值都是 1, 但其谱条件数却随着矩阵规模的增长而快速变大). http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/38