§5函数的凸性与拐点 一.凸性的定义及判定: 1.凸性的定义:由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义1设函数(x)在区间I上连续,若对x1,x2∈1和2∈(0,D恒 f(x1+(1-2)x2)≤(x1)+(1-A)f(x2) 则称曲线y=f(x)在区间I的凸函数,反之,如果总有 f(x1+(1-4)x2)≤(x1)+(1-A)f(x2) 则称曲线y=J(x)在区间I的凹函数 若在上式中,当≠x2时,有严格不等号成立,则称曲线y=(x)在 区间[a上是严格凸 (或严格凹)的 凸性的几何意义:倘有切线,考虑 与切线的位置关系 与弦的位置关系 曲线的弯曲方向 引理y=f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是对1上任意三点 x1<z2<x3,总有 J(x2)-J(x1)f(x3)-f( Xe-x 证明:必要性 充分性§ 5 函数的凸性与拐点 一． 凸性的定义及判定： 1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 1 设函数 在区间 I 上连续. 若对 I 和 恒 有 则称曲线 在区间 I 的凸函数, 反之, 如果总有 则称曲线 在区间 I 的凹函数. 若在上式中, 当 时, 有严格不等号成立, 则称曲线 在 区间 上是严格凸 (或严格凹)的. 凸性的几何意义: 倘有切线，考虑 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 引理 为区间 I 上的凸函数的充要条件是:对 I 上任意三点: , 总有 证明: 必要性 充分性