定理6.13设函数f(x)在区间I上可导,则下面条件等价 (i)为I上凸函数 (ii)为I上的增函数 (ii)对I上的任意两点x1, 有 f(x2)≥f(x1)+f(x)(x2-x1) 证明 2.利用二阶导数判断曲线的凸向 定理6.14设函数f(x)在区间(ab)内存在二阶导数,则在(ab)内 fx)<0.→J(x)在(ab)内严格上凸 f"(x)>0,→f(x)在(a,b) 在 内严格下凸 证法一(用y1or公式)对,2(,2)段十互 2 f(x)在点0展开成具 lagrange 型余项的 Taylor公式,有 f(x1)=f(x0)+∫(x0)(x1-x0)+ f(x)=f(x)+y(x0(x2-而)+2(x2-而)2 其中51和5在与x2之间.注意到-有=-(x2-),就定理 6.13 设函数 在区间 I 上可导, 则下面条件等价: (i) 为 I 上凸函数 (ii) 为 I 上的增函数 (iii) 对 I 上的任意两点 有 证明 2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: 定理 6.14 设函数 在区间 内存在二阶导数, 则在 内 ⑴ 在 内严格上凸; ⑵ 在 内严格下凸. 证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对 设 , 把 在点 展开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有 . 其中 和 在 与 之间. 注意到 , 就 有