第二章多元微分学 →(a-2xG)+(b-2G+(c-2xG)=0 3.今有三个二次曲面 l,i=1,2,3 其中,a>b>C,1≠凡2≠3,均为常数。证明:在三曲面的交点 处,三曲面正交 总是有三个不同的≠2≠3形成如此的三个曲面:因为 F(x2)=x(b2-x2)2-x2)+y2(a2-)2-x)+ +2(G2-2)b2-x2)+(a2-x2)b2 22)c2-2 在区间[b[[+<端点异号,因此有三个不同实根。 在三曲面的交点P(x,y,)处:三曲面之法向量: x 2=123 5a-2a-x)(b-)62-2) 2Xe2-2) 4 元2b2- 22:(-1)-(1)=0 4 2-x2)a2-x2) 第二章习题讨论第二章 多元微分学 第二章 习题讨论  (a − 2xG)dx + (b − 2yG)dy + (c − 2zG)dz = 0 3. 今有三个二次曲面： 1, 1,2,3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − + − + − i c x b x a x  i  i  i 其中， a  b  c ,  1  2  3 , 均为常数。证明：在三曲面的交点 处，三曲面正交。 解： ⚫ 总是有三个不同的  1  2  3 形成如此的三个曲面：因为 ( ) = ( − )( − )+ ( − )( − )+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F  x b  c  y a  c  ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + z a −  b −  + a −  b −  c −  , 在区间 c,b,b,a,a,+ 端点异号，因此有三个不同实根。 ⚫ 在三曲面的交点 P(x, y,z) 处：三曲面之法向量： , 1,2,3 2 , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 =         − − − = i c z b y a x n i i i i     ; ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j i j i j b b y a a x n n   −  −  + − −  =   ( )( ) 2 2 2 2 2 2 i j c c z −  −  + = −         − + − + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 i j i i i c z b y a x              − + − + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 i j j j j c z b y a x      = (( 1) ( 1)) 0 4 2 2 − − − =  i −  j . [注]: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j j i i j i j a a x a a a a x         − − − − −  − = − −