解齐次线性方程组(B-A)X=0,得到它的一个基础解系n=|- 0 进行单位化得B、=1 解齐次线性方程组(λ2E-A)X=0,得到它的一个基础解系{n2=0n=1 0 已经正交化,只需标准化得,B2=72,B1==73 010 令P=(B,月2,B)0 则 PAP=diag(2, 4, 4) 八、(8分)设U,U2是欧几里得空间V的子空间,证明: (U+U2)=U1+∩U21 证:对于任意a∈左边,必有aU1+Uz) 因为UU1+U2),所以也有a⊥U1;同理也有a⊥U1 即a∈U1+,且a∈U1+,从而a∈U∩U2=左边 反之对于任意β∈右边=U1+∩U2有BU1且βU2 从而对于任意a=a+a2∈(U1+U2),其中a1∈U1,a2∈U2有 (B,a)=(B,a计+a2)=(B,a1)+(β,a2)=0+0=0 即β∈(U1+U2)}=右边 九、(8分)设A是n×n正定矩阵,证明:存在实矩阵C,使得A=C2 证:设A的特征值为λ1,λ2,,An,因为A是n×n正定矩阵,所以A的特 征值全部大于0.存在正交矩阵P使PAP=diag(1,λ2,…,λn) 即有 第4页共5页第 4 页 共 5 页 解齐次线性方程组（λ1E-A）X=0，得到它的一个基础解系         1 1 0 1 进行单位化得         1 1 0 2 1 1 解齐次线性方程组（λ2E-A）X=0，得到它的一个基础解系{               1 1 0 , 0 0 1  2 3 } 已经正交化,只需标准化得， 2  2 , 3 3 2 1    令          2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 1 0 ( , , ) P 1  2  3 则 P -1AP=diag(2,4,4) 八、（8 分）设 U1,U2是欧几里得空间 V 的子空间，证明： (U1+U2)┴= U1┴ ∩U2┴ 证：对于任意 α∈左边，必有 α┴(U1+ U2)， 因为 U1(U1+ U2)，所以也有α┴U1；同理也有 α┴U1 ． 即α∈U1┴，且α∈U1┴，从而α∈U1┴ ∩U2┴=左边 反之对于任意β∈右边=U1┴ ∩U2┴ 有 β┴U1且β┴U2 从而对于任意 α=α1+α2∈(U1+ U2)，其中α1∈U1，α2∈U2 有 (β,α)=(β,α1+α2 )= (β,α1 )+ (β,α2 )=0+0=0 即 β∈(U1+U2)┴=右边 九、（8 分）设 A 是 n×n 正定矩阵，证明：存在实矩阵 C，使得 A=C2． 证：设 A 的特征值为λ1，λ2，…，λn，因为 A 是 n×n 正定矩阵，所以 A 的特 征值全部大于 0．存在正交矩阵 P 使 P TAP=diag(λ1，λ2，…，λn)． 即有