(n-1)(n+1) li (9)1<mgn<Y, lim n22=1,所以 li lgn= 1 (10)设x1=1+3+5+…+2n-1,则2x=1+3+5…+2n-1,两式 相减,得到 xn=1+(+-++…+ 由 2n-1 +)=2,lin =0可知 li 10.证明:若a>0(n=12,…),且iman=1>1,则 lim a=0。 证取1<r<1,由ima=1>1,可知彐N,vn>N,成立a>r>1,于 是 0<a<a °1、(1N,由im,(1=0可知 m a 11.证明:若an>0(n=12…),且im=a,则 lima/a,=a 证由=…及址=,可知 lima. =a o 12.设lim(a1+a2+…+an)存在,证明: (1)im-(a1+2a2+…+man)=0 (2)lim(na2…an)”=0(a1>0,i=1,2,…,n)。→∞ = n lim = − + ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 2) 4 3 5 3 2 4 2 1 3 n n n n n n " limn→∞ = + n n 2 1 2 1 。 （9） 2 1 lg n n < n n < n ，limn→∞ 1 2 = n n ，所以 limn→∞ lg n n n = 1。 （10）设 n n n x 2 2 1 2 5 2 3 2 1 2 3 − = + + +"+ ，则 2 1 2 2 1 2 5 2 3 2 1 − − = + + + n n n x " ，两式 相减，得到 n n n n x 2 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 1 (1 2 2 − = + + + + + − " − 。由 n→∞ lim ) 2 2 1 2 1 2 1 (1 2 2 + + + + = " n− ， 0 2 2 1 lim = − →∞ n n n ，可知 lim = 3 →∞ n n x 。 10. 证明：若an > 0（n = 1,2,"），且lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，则lim = 0。 →∞ n n a 证 取1 < r < l ，由lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，可知∃N,∀n > N ，成立 1 1 > > + r a a n n ，于 是 1 1 1 0 − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < n N n N r a a 。由 1 1 1 lim 0 n N N n a r − − + →∞ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ 可知 lim = 0 →∞ n n a 。 11．证明：若an > 0（n = 1,2,"），且 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，则 n an a n = →∞ lim 。 证 由 n n n n n a a a a a a a a 2 1 3 1 2 1 − = ⋅ ⋅ ⋅"⋅ 及 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，可知 n an a n = →∞ lim 。 12. 设lim ( a a )存在，证明： n→∞ a 1 2 + +"+ n (1) limn→∞ 1 2 1 2 n a a nan ( ) + +"+ = 0； (2) limn→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0 ( ai > 0 , i = 1,2,…,n)。 18