量法 第5页 所以 u(r, t)=v(r, t)+2(cn sin at +Dn cos Ta ) sin 代入初始条件 T=-v(, t) 利用本征函数的正交归一性,定出叠加糸数 Dn=-/v(r,O)sindi ·这种解法称为方程和边界条件的同时齐次化 在将非齐次方程齐次化的同时,必须保持原有的齐次边界条件不变 解法的关键就在于求得特解υ(x,t).适用于∫(x,)形式比较简单的情形 齐次初始条件的限制可以取消 例16.1求解定解问题 at2 x2=f( 0<x<l,t>0, u=1=0.t≥0 0 at x≤l, 其中∫(x)为已知函数 解只给出解题的主要思路 由于方程的非齐次项只是x的函数,就可以把齐次化函数也取为只是x的函数,即设 u(a, t)=v(z)+w(r, t) 其中υ(x)满足常微分方程的边值问题 U(0)=0,v()=0 而u(x,t)则满足定解问题 022o2v 0 0<x<l,t>0 rel 0 t≥0, (x) 0≤x≤lWu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 5 ❣ ❙ ✝ u(x, t) = v(x, t) + X∞ n=1  Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x, ❚❯❱❲õö✛ X∞ n=1 Dn sin nπ l x = −v(x, t)   t=0, X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = − ∂v(x, t) ∂t    t=0 , ❳✂❶❷❨➆⑦❩❬ ❭❑❪✛☛ ◗❫❴ ❵➆ Cn = − 2 nπa Z l 0 ∂v(x, t) ∂t    t=0 sin nπ l x dx, Dn = − 2 l Z l 0 v(x, 0) sin nπ l x dx. • ⑨❛➂û❜❺ñò①óôõö⑦ ⑥❼ ìí❝ ✵ • ÷❞ ➀ìíñòìí❝⑦ ⑥❼✛❡❢❣❤✐❿⑦ìíóôõö⑤ù ✵ • ➂û⑦ ÿ￾ P ÷❥▼✆❖➂ v(x, t) ✵❦ ✂❥ f(x, t) ❧♠♥♦ ♣q⑦r ❧✵ • ìí❱❲õö⑦st✍ ✝✉ ✈✵ ✇ 16.1 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x), 0 < x < l, t > 0, u   x=0 = 0, u   x=l = 0, t ≥ 0, u   t=0 = 0, ∂u ∂t     t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ✪ ✫ f(x) ✇ ①②✉ ✴✵ ✗ ❉➥ ➧❦➙ ✰③✃④⑤✵ ✷ ↔ ✣✤✰✓❧♠✔ ❉ ✬ x ✰ ✉ ✴✛➑✽➈➊ ❧♠✽ ✉ ✴✼✈✇❉ ✬ x ✰ ✉ ✴✛➉✚ u(x, t) = v(x) + w(x, t), ✪ ✫ v(x) ◆❖✳✐✥✣✤✰✸t↕➙ v 00(x) = − 1 a 2 f(x), v(0) = 0, v(l) = 0; ⑥ w(x, t) ⑦◆❖✲❦↕➙ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, w   x=0 = 0, w   x=l = 0, t ≥ 0, w   t=0 = −v(x), ∂w ∂t     t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l