§16.2两端固定弦的强迫振动 第6页 例16.2求解定解问题 02 Ao sin wt 0<x<l,t>0 u u 其中a,A0及w均为已知常数 解设 u(a, t)=v( 考虑到非齐次项的具体形式,可将齐次化函数v(x,t)取为 v(a, t)=f(r)sint 使得v(x,t)满足非齐次方程及齐次边界条件, a21 l,t>0. t≥0, 也就是选择∫(x),使得 w2f(a)-a2f"(a)=Ac f(0)=0,f()=0 这个非齐次常徵分方程的通解为 f(a) +as + Bcos-r 代入齐次边界条件可以定出 2,(A≥A0, Ao 于是 f(r) Ao「,cos(c(x-1/2)/a) cos(wl /2a) 这样就能导出u(x,t)所满足的定解问题, 0. t≥0, 0 uf(x),0≤x≤l 它的一般解为 (,1)=∑Wu Chong-shi §16.2 ❭⑧⑨❜⑩❛❶❷❸❹ ❢ 6 ❣ ✇ 16.2 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = A0 sin ωt, 0 < x < l, t > 0, u   x=0 = 0, u   x=l = 0, t ≥ 0, u   t=0 = 0, ∂u ∂t     t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ✪ ✫ a, A0 ❺ ω ✭✇ ①②✳✴✵ ✗ ✚ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), ❰Ï❘ ✓❧♠✔✰❻❼➫➭✛✽P ❧♠✽ ✉ ✴ v(x, t) ✈✇ v(x, t) = f(x) sin ωt. ❽✩ v(x, t) ◆❖✓❧♠✣✤❺❧♠✸✹✺✻✛ ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = A0 sin ωt, 0 < x < l, t > 0, v   x=0 = 0, v   x=l = 0, t ≥ 0, ✼➑✬❾❿ f(x) ✛ ❽✩ − ω 2 f(x) − a 2 f 00(x) = A0, f(0) = 0, f(l) = 0. ❃●✓❧♠✳✐✥✣✤✰❥❦✇ f(x) = − A0 ω2 + A sin ω a x + B cos ω a x. ✜✢❧♠✸✹✺✻✽➈ ✲➧ B = A0 ω2 , A = A0 ω2 tan ωl 2a . ↔ ✬ f(x) = − A0 ω2  1 − cos ω a x  − tan ωl 2a sin ω a x  = − A0 ω2  1 − cos(ω(x − l/2)/a) cos(ωl/2a)  . ❃ →➑➀➁➧ w(x, t) ➇ ◆❖✰✲❦↕➙✛ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, w    x=0 = 0, w   x=l = 0, t ≥ 0, w   t=0 = 0, ∂w ∂t     t=0 = −ωf(x), 0 ≤ x ≤ l. ❏✰❁➸❦✇ w(x, t) = X∞ n=1 h Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l ati sin nπ l x