量法( 利用上面的初始条件就可以定出 fra 只有n=奇数时,Cn才不为0.这样,最后就求出了 和 u(x-l/2)/ ular (2n+1)2[(2n+1)ta]2-() 特殊情形:强迫力的角频率ω正好是弦的某些固有频率, +1)ma/,k为某个确定的非负整数 弦在强迫力的作用下会发生共振现象 例16.3求解定解问题 0<x<a,0<y<b, u==0,叫 <u< u-o =o(=), l 解容易求出方程的通解 1 y+f(a +iy)+g(x-iy) 适当选择函数∫和g,例如 24i 2 使得到的解 满足齐次边界条件 y)=v(a, y)+w(, y),Wu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 7 ❣ ➂ ❐➃➄✰➺➻✺✻➑✽➈ ✲➧ Dn = 0, Cn = − 2ω nπa Z l 0 f(x) sin nπ l xdx = − 2A0ωl3 π2a 1 − (−) n n2 1 (nπa) 2 − (ωl) 2 . ❉❊ n = ➅✴ ✭✛ Cn ➆❮✇ 0 ✵ ❃ →✛➇➈➑➦➧❆ w(x, t) = − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0  1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat ❈ u(x, t) = − A0 ω2  1 − cos ω(x − l/2)/a cos(ωl/2a)  sin ωt − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0  1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat . ➉➊➋➌ ✄ ✥✦✜✰➍➎➏ ω ➪➐✬✤✰➑➒ ✣❊ ➎➏✛ ω = (2k + 1)πa/l, k✇➑ ●➓ ✲✰✓➔➳ ✴ ✤➮✥✦✜✰→❐ ➼➣↔↕➙✧➬➛✵ ✇ 16.3 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = xy, 0 < x < a, 0 < y < b, u   x=0 = 0, u   x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u   y=0 = φ(x), u   y=b = ψ(x), 0 ≤ x ≤ a. ✗ ➜➝➦➧✣✤✰❥❦ 1 6 x 3 y + f(x + iy) + g(x − iy). ❃ ❤❾❿✉ ✴ f ❈ g ✛➞➟✛ f(x + iy) + g(x − iy) = − a 2 24i (x + iy) 2 − (x − iy) 2 = − 1 6 a 2xy, ❽✩❘✰❦ v(x, y) = 1 6 ￾ x 2 − a 2
xy ◆❖❧♠✸✹✺✻ v(x, y)   x=0 = 0, v(x, y)   x=a = 0. ❀ u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),