所以收敛区域为(-1,1) m+1x积分二次∑x-)=x 2 n( n+Ir=x 1+x)(1+x) x+1|x+1 <1,所以当-3<x<1时收敛 当x=1时得数项级数 发散;当x=-3时得数项级数∑(-1)一,收敛于是收敛区 域为[一3,1 x+1 dx =h2-ln(1-x)=h2 ,[-3,1) n(n+)x2并求 解、x=21xk2.当x=+2时得到的数项级数发散,所以收敛 区域为(-2,2) ∑叫m+x“积分二次 )-(3)-1x1 16 (-2,2) 所以yn(n+1)16 =16 (2-1)3 七.把下列级数展成x的幂级数 1.f(x)=ln(1+x-2x) 解.∫"(x)= 1+x-2x22x+11-x =2∑(-1)2"x"-∑x"=∑(-1)"2"-lx 上述级数的收敛半径为一.所以 (1∑(-2-xh=∑(-y2-1x=∑p2所以收敛区域为(－1, 1).  3 ' '  2 1 ' '  1 1 1 1 (1  ) 2  1  ( 1 ) ( 1 ) x  x  x  x  n  n  x  x  n  n  x  x  x  x  n n n n n n + = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê Â + =  +  • = • = - + • = 积分二次 ,(－1, 1) 5.  • = + 1 2 ( 1) n n n n x  解.  1  2  |  1 |  2  |  1 |  lim < + = + Æ• x  n  x  n n n n ,  所以当- 3 < x < 1时收敛.  当 x = 1时得数项级数 • =1 1 n n ,  发散;  当 x = - 3时得数项级数 • = - 1 1  ( 1 ) n n n ,  收敛.  于是收敛区 域为[－3, 1). Â Ú Â Ú - Â Ú - • = - - • = • = - ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê + = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + = + x  x  n n x  n n n n n n dx  x  dx  x  dx  n x  n x 1 1 1 '  1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) 2 ( 1) = x  x - - - = 1 2 ln 2 ln(1 ) ln ,  [－3, 1).  6.   • = - • = - - + + 1 1 1 1 1 2  ( 1 ) 2  ( 1 ) n n n n n n  n  x  n  n  并求 解.  1 ,|  |  2  2  |  |  |  |  2  ( 1 ) lim  1 1 = < < + - - Æ• x  x  x  n  n  n n n n .  当 x = ± 2 时得到的数项级数发散,  所以收敛 区域为(－2, 2).  3 ' '  2 ' '  1 ' '  1 1 1 1 1 1 1 (2 ) 16 2 2 2 4 2 2 ( 1) x  x  x  x  x  x  n n n n n n n n n n - = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - = ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê = ˜ ¯ ˆ Á Ë + Ê Â Â Â • = • + = - • + = - - 积分二次 , (－2, 2) 所以 16  (2  1 ) 16  2  ( 1 ) 3 1 1 = - = +  • = - n n n  n  七.  把下列级数展成 x 的幂级数:  1.  ( ) ln(1  2  ) 2 f x  = + x - x  解. x  x  x  x  x  f x  - - + = + - - = 1 1 2 1 2 1 2 1 4 ' ( ) 2 =    • = • = + • = = - - = - - 0 0 1 0 2 ( 1 ) 2  [( 1 ) 2  1 ] n n n n n n n n n n x  x  x  上述级数的收敛半径为 2 1 .  所以 = - - = Ú Â • = + x  n n n n f x  x  dx  0 0 1 ( ) [( 1 ) 2  1 ] n n n n n n n n x  n  n  x   • = • - = + + - - = + - - 1 1 0 1 1 [( 1 ) 2  1 ] 1  [( 1 ) 2  1 ]