理数系构造实数系那样有同样根本的重要性。 上面提到的测度m当然与实直线的几何性质是密切相关的 在本章中,将介绍关于在任意集上任何可数可加测度的 Lebesgue 积分的一种抽象的(公理化的)叙述(精确定义见后).这个抽象理 论无论从那方面看都不比实直线上的特殊情形更困难;它说明,积 分理论中的大部分与基础空间的任何几何(或拓扑)是无关的;而 且,它当然也向我们提供了一个广泛有用的工具.我们将在第二 章中证实包括 Lebesgue测度在内的一大类测度的存在 集论的记号和术语 I.I某些集能用列出它们的元素来描述,例如{x1,…,xn}是 元素为x,…,x的集;而{x}是仅有一个元素x的集.更为常见的 是用性质来描述集合.对于具有性质P的所有元素x的集记为 fa: Pt 符号必表示空集.族及类这些词在使用时与集是同义的 若矿为集A的元素,记∈A;否则A.若B是A的子集,郎 若x∈B蕴涵着κ∈A,就记B∈A.若BCA且AcB,则A=B.若 BCA且A≠B,则B是A的真子集注意,对于每一个集A有 必cA AUB及A∩B分别为A与B的并及交.若{A}是集族,其中 遍取某个指标集I,则{a}的并及交记作 Aa及 即 ∪An=(x:∈A1对至少一个aen An={z:x∈Aa对每一个a∈I