第一章抽象积分 大约十九世纪末,许多数学家才搞清楚, Riemann积分(微积 分学教程中学习的内容之→)应当由另外一种类型更广泛、更灵 活、更适合于处理极限过程的积分来代替.在这方面所作努力之 中,最著名的有 Jordan, Borel,W.H. Young及 Lebesgue,jLe begun的结构终于是最成功的 筒要说来,其主要的思想是:函数∫在闭区间[a,b上的Re- mann积分能够用和式 ∑f(t)m(E) 逼近,其中E1,…,B为不相交的闭区间,它们的并为[a,b],m(B;) 表示E;的长度,而t,∈E,(L=1,2,…,n), Lebesgue发现,当上 面和式中的集E;属于直线上较大的一类子集,即所谓“可测集” 而且把所考虑的函数类扩大到所谓“可测函数”时,可以得出一种 完全令人满意的积分理论.涉及到决定性的集论的性质如下:任 何可数个可测集族的并和交是可测的;每一个可测集的余集也是 可测的;而且,最重要的是“长度”的概念(现称为“测度”)可按这样 的方法推广:对于两两不相交的可测集的每一个可数集族{E}, 都有 m(E1UE2UEU…)=m(E1)十m(E2)十m(E3)十 m的这个性质称为可数可加性 从 Riemann积分理论过渡到 Lebesgue积分理论是一个完备 化的过程(其意义以后将更加精确地叙述).它在分析上如同从有 5