这就证明了(④) 我们已经知道,t→e将实轴映入单位圆周内为了证明(f), 现固定切使得{|=1;我们将要证明,对于某些实数有=e‘ 记=2+,和υ为实数,而且首先假定≥0及≥0.由于 ≤1,则m的定义表明存在一个,0≤≤π/2,使得cost=t;因 而sin=1-t2=b2,又由当0≤丌/2时有sin≥0,故sin =υ,因此U=e‘ 若<0及υ≥0,则一iv满足上述的条件,因此,对于某些实 数t有一i=e‘,而且t=en/2),最后,若υ<0,则上述两种情 况证明了,对于某些实数t有-=e,因此=e“(+.这就证 明了 若=0,令av/w,因而切=|ua,根据(c),有一个实数 x使得1=ex,由于!a|=1,则(f)证明了,对于某些实数有 a=e",因此=ex+",这就证明了(g),且完成了本定理的证 明 我们将遇到(1+2)1在实直线上的积分.为了求它的值,在 (一π/2,/2)内,令()= gint/cost.根(6)有q'=1+q2因 此,g是一个(一x/2,x/2)到(一∞,∞)上的单调增加的映射, 而且得到