幂级数(1)给出表示式 (7 CostE 1 2!4!6! 十 取t=2,则级数(7)的各项按绝对值减少(除首项外),而且它们的 符号是交错的,因此cos2小于级数(7)的前三项之和;于是cos2 3·由于c0s0=1且co8是实轴上的实连续函数,可断定存 在一个最小的正数t使得 costo=0,我们定义 (8) 2去 从(3)及(5)得到si0=±1,由于在开区间(0,4o)上 n't=cost>0 和sin0=0,故有sin>0,因此 sin t=1,而且 (9) 由此可见,e=i2m-1,e2n=(-1)2=1,且对每个正整数 ,e2i=1.同样立即得到(e) 若x=+,x和y为实数,则e2=ee";因北e2|=e,若e2= 1,则必须有e=1,从而z=0;根据(10),为了证明y/2π一定是整 数,只要证明当0<犭<2π时,e÷1就足够了 设0<y<2丌,且 e=t+it(u和”是实数) 由于0<y/4<丌/2,故有a>0,0>0.同样 (12)e“=(u+it)4=u4--622+v4+4i(2-2) 仅当v2=v2时,(12的右边才是实数;由于2+u2=1仅当v2=v2 时才成立,因此(12)表示出 I上1