2xi)是整数时才成立 (e)exp是周期函数,其周期是2r, (f)映射t→e将实轴映到单位圆周上 (9)若w是复数且m0,则存在某些x,使=e 证明由(2),e‘·e=ex-=e°=1.由此得到(a),其次 exp'(a)=lim exp(+h)=exp(2) exp(a)lim exp(h-1 h =exp(z) 在上述等式中,第一个是定义,第二个从(2)得到,而第三个从 (1)得到,因此证明了(b) 由于(1),显然exp在正实轴上是单调增加的,而且当x 时,e→>∞,(c)的另一个断言是e·ex=1的结果 对于任何实数t,(1)表示e-“是e‘的共轭复数,因此 e 1 或 (3) e|=1(t是实数) 换句话说,若t为实数,则e位于单位圆周上,我们定义cost, sin6为e”的实部和虚部 (4) cogt=Ree],sint=Im[e(t是实数) 若对等价于(4)的 Euler恒等式 (5) ost+2 sin t 两边微分,并且应用(b),则得 cos't+i sin't=ie=-sint+cost 于是 (6) cos sin, sin' Cos 2