的距离为F(x,y,=)=√x-x)2+(y-10)2+(二-二0)2。现在的问题是要求出曲面G(x,y,=)=0上的点 (x,y,=)使F为最小。即,问题归化为求函数F(x,yz)在条件G(x,y,z)=0下的最小值问题。 又如,在总和为C的几个正数x1,x2…xn的数组中,求一数组,使函数值∫=x12+x2+…+xn为最 小,这是在条件x+x2+…+xn=C(x1>0)的限制下,求函数∫的极小值问题。这类问题叫做条件极值 问题。 二条件极值的必要条件 为了方便起见,同时又不不失一般性,我们仅讨论以下情形 前提:设函数∫(x,yu,v)具有对各个变元的连续偏导数,而这些变元x,y,u,v之间又受到以下条件的限制: g(x,y, u,v)=0 h(x,y, u,v)=0 其中g(xy)和xyxT)都具有对各个变元的连续偏导数,并且它们的行列式D83≠0 目标:我们要求函数f(x,y,,)在限制条件g=0,h=0下的极值的必要条件。 定理1(限制极值的必要条件)∫(x,y,a,v)在限制条件 jg(x,y, u,v)=0 下于点(x0,y,0,v0)取得极值, h(x,y, u,v)=0 那么必存在常数λ1,2使得在该点有: gradf(o, yo, lo, vo)=ggradg(xo, yo, lo, vo)+ngradh(xo, yo, Lo, Vo) 称A1,A2是 lagrange乘数(待定乘数) 这一结果可推广靠n元函数 三条件极值的求法 在具体解题时,例如在限制条件 「g(x,y,,)=0 h(x,y,l1)=0下求f(x,y4)的极值,可如下进行: 引入函数L( lagrange函数):L(x,y,u,v)=f(x,y,,v)-g(x,y,,v)-2h(x,y,,v) 2.求L的极值(视x,y,l,v为独立变量):由 OL =(x,y,l2v) 0 (x, y, u,v)-1 ag =0 (x, y, u,v) (x,y,v)- ag =0 15-3《数学分析（1，2，3，）》教案 15-3 的距离为 2 0 2 0 2 0 F(x, y,z) = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) 。现在的问题是要求出曲面 G(x, y,z) = 0 上的点 (x, y,z) 使 F 为最小。即，问题归化为求函数 F(x, y,z) 在条件 G(x, y,z) = 0 下的最小值问题。 又如，在总和为 C 的几个正数 n x , x , x 1 2 的数组中，求一数组，使函数值 2 2 2 2 1 n f = x + x ++ x 为最 小，这是在条件 x1 + x2 ++ xn = C (  0) i x 的限制下，求函数 f 的极小值问题。这类问题叫做条件极值 问题。 二 条件极值的必要条件 为了方便起见，同时又不不失一般性，我们仅讨论以下情形。 前提：设函数 f (x, y,u,v) 具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元 x, y,u, v 之间又受到以下条件的限制：    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 h x y u v g x y u v 其中 g(x, y,u,v) 和 h(x, y,u, v) 都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式 ( , ) 0 ( , ) D g h D u v  。 目标：我们要求函数 f (x, y,u,v) 在限制条件 g = 0, h = 0 下的极值的必要条件。 定理 1（限制极值的必要条件） f (x, y,u,v) 在限制条件    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 h x y u v g x y u v 下于点 ( , , , ) 0 0 0 0 x y u v 取得极值， 那么必存在常数 1， 2 使得在该点有： 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 grad ( , , , ) grad ( , , , ) grad ( , , , ) f x y u v g x y u v h x y u v = +   称 1， 2 是 lagrange 乘数（待定乘数）。 这一结果可推广靠 n 元函数。 三 条件极值的求法 在具体解题时，例如在限制条件    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 h x y u v g x y u v 下求 f (x, y,u,v) 的极值，可如下进行： 1． 引入函数 L （ lagrange 函数）： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 L x y u v = f x y u v − g x y u v − h x y u v 。 2． 求 L 的极值（视 x, y,u, v 为独立变量）：由 ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   x h x g x y u v x f x L   ， ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   y h y g x y u v y f y L   ， ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   u h u g x y u v u f u L   ， ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   v h v g x y u v v f v L  