第5期 拓守恒，等：改进教与学优化算法的LQR控制器优化设计 ·603. 还是存在优化用时长、获得全局最优解成功率低等 在标准的TLB0算法中，“班级”是个体的集合， 问题1山，本文提出一种改进的教与学优化算法进 每个个体相当于一个学员，每个学员所学的某一科 行LQR控制器的优化。 目相当于一个决策变量。水平最高的学员被称为 “教师”。每个学员通过“教师”的“教”和向其他学 1 LQR控制算法 员“学习”来提高自身水平。 假设受控线性不变系统的状态方程模型为 1)“教”阶段。 在“教”阶段，班级中每个学员(j=1,2,… x()=Ax(t)+Bu(t） (1) NP)根据Xeer和班级中学员平均水平值Mean= y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中：x(t)是状态向量，u(t)是控制向量，y(t)是 三：之间的差异性进行学习。教学过程如下： 输出向量，A是系数矩阵，B是输入矩阵，C是输出 Xm=Xld Difference 矩阵，D是传递矩阵。 Difference=T:·(X,eaha-Tf:·Mean) 定义控制系统的二次型性能泛函为 式中：X表示第i个学员学习前的值，X表示第i个 Jsx+ros+aR1出 (2) 学员学习后的值，TF:=round[1+rand(0,l)]是教学 因子，：∈U(0,1)是随机学习步长，表示学习速率。 式中：Q为状态变量的加权矩阵，是半正定矩阵；R 2)“学”阶段 为输入变量的加权矩阵，是正定矩阵。 在“学”阶段，学员X(i=1,2,…,NP)从班级 该系统最优控制的目标是寻求最优控制(t), 中随机选取一个学员”(=1,2，…，NP,j≠)作为 使得系统趋近于初始化状态，并使J取得最小值。 学习对象，X分析和比较自己和学员？之间的差 由线性二次型最优控制理论可知，如果要使得J最 异，然后进行学习。学习过程如下： 小，则控制向量应该为 Xaa+r:·(X'-),f)<fX) u(t)=RB'Px (3) X.= 式中：P为对称矩阵，该矩阵满足： X+r·(N-X),fX)<f) 式中，：=U(0,1)表示第i个学员的学习因子（学 P=-PA -AP PBR-BP-O (4) 习步长)。 考虑在稳态的情况下，系统状态逐渐趋近于0，可将 3)学习结果更新，学员在经过学习后要进行更 式(4)简化为Riccati代数方程： 新操作。更新方法如下： PA +A'P-PBRB'P+O=0 (5) IF is better than 显然，上述最优控制系统的性能指标主要取决于对 =he 称矩阵P,而P主要由矩阵A、B、Q和R确定。A和 End IF B是参数矩阵，因此，系统性能主要由矩阵Q和R 基本TLBO算法的流程如图1所示。 来决定。然而，Q和R怎样选取没有具体的求解方 法，常常依赖于设计者的主观经验进行实验调整，直 3改进的教与学优化算法 至获得相对可接受的满意解。 在标准的TLBO算法中，所有学员的的水平提 本文采用一种新型改进快速智能优化算法进行 高，完全依赖老师的“教”和学员之间的交流“学 LQR控制器的优化设计。通过汽车主动悬架作为 习”，从而使得学员在学习过程中对他人的过度依 被控对象，将提出的一种新的“教与学”优化算法应 赖。我们知道，每个人的学习主要是靠自身的努力 用于LQR控制器的设计中，并将结果与遗传算法、 和探索，个人的创新能力是最重要的19-0)。因此， 粒子群优化算法和标准的“教与学”优化算法在 为了发挥群体中每个学员的创新能力，本文提出一 LQR控制器优化中的性能进行比较。 种具有自我学习能力的教与学优化算法(motified 2教与学优化算法 teaching-learning-based optimization,MTLBO), 借鉴和声搜索算法思想进行个体的自我学习和自我 “教与学”优化(TLB0)算法[2-11是一种新型的 探索创新能力挖掘，用于加强每个个体的局部搜索 群体智能优化算法，通过模拟人类的学习过程： 能力，从而增强种群的全局最优解的求解能力。 “教”和“学”。通过两个阶段的学习，从而促进每个 3.1“教”(Teaching)学阶段的改进 个体的学习水平。 本文中对Mean进行改进，使的原来的Mean=还是存在优化用时长、获得全局最优解成功率低等 问题［１０⁃１１］ ，本文提出一种改进的教与学优化算法进 行 ＬＱＲ 控制器的优化。 １ ＬＱＲ 控制算法 假设受控线性不变系统的状态方程模型为 ｘ · （ｔ） ＝ Ａｘ（ｔ） ＋ Ｂｕ（ｔ） ｙ（ｔ） ＝ Ｃｘ（ｔ） ＋ Ｄｕ（ｔ） { （１） 式中： ｘ（ｔ） 是状态向量， ｕ（ｔ） 是控制向量， ｙ（ｔ） 是 输出向量，Ａ 是系数矩阵，Ｂ 是输入矩阵，Ｃ 是输出 矩阵，Ｄ 是传递矩阵。 定义控制系统的二次型性能泛函为 Ｊ ＝ １ ２ ｘ Ｔ Ｓｘ ＋ １ ２ ∫ ｔ ｆ ｔ０ ｘ ＴＱｘ ＋ ｕ Ｔ [ Ｒｕ] ｄｔ （２） 式中：Ｑ 为状态变量的加权矩阵，是半正定矩阵；Ｒ 为输入变量的加权矩阵，是正定矩阵。 该系统最优控制的目标是寻求最优控制 ｕ（ｔ） ， 使得系统趋近于初始化状态，并使 Ｊ 取得最小值。 由线性二次型最优控制理论可知，如果要使得 Ｊ 最 小，则控制向量应该为 ｕ ∗ （ｔ） ＝ Ｒ ⁃１Ｂ ＴＰｘ （３） 式中：Ｐ 为对称矩阵，该矩阵满足： Ｐ · ＝ － ＰＡ － Ａ ＴＰ ＋ ＰＢＲ －１Ｂ ＴＰ － Ｑ （４） 考虑在稳态的情况下，系统状态逐渐趋近于 ０，可将 式（４）简化为 Ｒｉｃｃａｔｉ 代数方程： ＰＡ ＋ Ａ ＴＰ － ＰＢＲ －１Ｂ ＴＰ ＋ Ｑ ＝ ０ （５） 显然，上述最优控制系统的性能指标主要取决于对 称矩阵 Ｐ，而 Ｐ 主要由矩阵 Ａ、Ｂ、Ｑ 和 Ｒ 确定。 Ａ 和 Ｂ 是参数矩阵，因此，系统性能主要由矩阵 Ｑ 和 Ｒ 来决定。 然而，Ｑ 和 Ｒ 怎样选取没有具体的求解方 法，常常依赖于设计者的主观经验进行实验调整，直 至获得相对可接受的满意解。 本文采用一种新型改进快速智能优化算法进行 ＬＱＲ 控制器的优化设计。 通过汽车主动悬架作为 被控对象，将提出的一种新的“教与学”优化算法应 用于 ＬＱＲ 控制器的设计中，并将结果与遗传算法、 粒子群优化算法和标准的“ 教与学” 优化算法在 ＬＱＲ 控制器优化中的性能进行比较。 ２ 教与学优化算法 “教与学”优化（ＴＬＢＯ）算法［１２－１８］是一种新型的 群体智能优化算法， 通过模拟人类的学习过程： “教”和“学”。 通过两个阶段的学习，从而促进每个 个体的学习水平。 在标准的 ＴＬＢＯ 算法中，“班级”是个体的集合， 每个个体相当于一个学员，每个学员所学的某一科 目相当于一个决策变量。 水平最高的学员被称为 “教师”。 每个学员通过“教师”的“教”和向其他学 员“学习”来提高自身水平。 １） “教”阶段。 在“教”阶段，班级中每个学员 Ｘ ｊ （ ｊ ＝ １，２，…， ＮＰ） 根据 Ｘｔｅａｃｈｅｒ 和班级中学员平均水平值 Ｍｅａｎ ＝ １ ＮＰ∑ ＮＰ ｉ ＝ １ Ｘ ｉ 之间的差异性进行学习。 教学过程如下： Ｘ ｉ ｎｅｗ ＝ Ｘ ｉ ｏｌｄ ＋ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ＝ ｒｉ·（Ｘｔｅａｃｈｅｒ － ＴＦｉ·Ｍｅａｎ） 式中： Ｘ ｉ ｏｌｄ 表示第 ｉ 个学员学习前的值， Ｘ ｉ ｎｅｗ 表示第 ｉ 个 学员学习后的值， ＴＦｉ ＝ ｒｏｕｎｄ [１ ＋ ｒａｎｄ（０，１）] 是教学 因子， ｒｉ ∈∪ （０，１） 是随机学习步长，表示学习速率 。 ２）“学”阶段 在“学”阶段，学员 Ｘ ｉ （ｉ ＝ １，２，…，ＮＰ） 从班级 中随机选取一个学员 Ｘ ｊ （ｊ ＝ １，２，…，ＮＰ，ｊ≠ｉ） 作为 学习对象， Ｘ ｉ 分析和比较自己和学员 Ｘ ｊ 之间的差 异，然后进行学习。 学习过程如下： Ｘ ｉ ｎｅｗ ＝ Ｘ ｉ ｏｌｄ ＋ ｒｉ·（Ｘ ｉ － Ｘ ｊ ）， ｆ（Ｘ ｊ ） ＜ ｆ（Ｘ ｉ ） Ｘ ｉ ｏｌｄ ＋ ｒｉ·（Ｘ ｊ － Ｘ ｉ ）， ｆ（Ｘ ｉ ） ＜ ｆ（Ｘ ｊ { ） 式中， ｒｉ ＝ Ｕ（０，１） 表示第 ｉ 个学员的学习因子（学 习步长）。 ３）学习结果更新，学员在经过学习后要进行更 新操作。 更新方法如下： ＩＦ Ｘ ｉ ｎｅｗ ｉｓ ｂｅｔｔｅｒ ｔｈａｎ Ｘ ｉ ｏｌｄ Ｘ ｉ ＝ Ｘ ｉ ｎｅｗ Ｅｎｄ ＩＦ 基本 ＴＬＢＯ 算法的流程如图 １ 所示。 ３ 改进的教与学优化算法 在标准的 ＴＬＢＯ 算法中，所有学员的的水平提 高，完全依赖老师的“教” 和学员之间的交流“ 学 习”，从而使得学员在学习过程中对他人的过度依 赖。 我们知道，每个人的学习主要是靠自身的努力 和探索，个人的创新能力是最重要的［１９－２０］ 。 因此， 为了发挥群体中每个学员的创新能力，本文提出一 种具有自我学习能力的教与学优化算法（ ｍｏｔｉｆｉｅｄ ｔｅａｃｈｉｎｇ⁃ｌｅａｒｎｉｎｇ⁃ｂａｓｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ＭＴＬＢＯ），算法 借鉴和声搜索算法思想进行个体的自我学习和自我 探索创新能力挖掘，用于加强每个个体的局部搜索 能力，从而增强种群的全局最优解的求解能力。 ３．１ “教”（Ｔｅａｃｈｉｎｇ）学阶段的改进 本文中对 Ｍｅａｎ 进行改进，使的原来的 Ｍｅａｎ ＝ 第 ５ 期 拓守恒，等：改进教与学优化算法的 ＬＱＲ 控制器优化设计 ·６０３·