10 z01anb Q复变函数 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值二=x+ijy[或每一对(x,y)值,按照一定的规律,有一个或多个复数值 w=u+iv与之相对应,则称w是z的函数,记为w=f() 印象:两个二元实变函数的有序组合。许多性质是二元函数的推广。仅仅是两个二元实变函数的简单推广?NO! 如果一个〓值对应于一个w值,称为单值函数,如:w=2 ■如果一个值对应于多个w值,称为多值函数,如:w===V: ■与实变函数之不同,这里的函数定义规定对应“一个或多个复数值”,而实变函数中函数的定义通常是:有确定的值 与之对应,确定,隐含着一个值而非多个值 多值函数例:开根。y=f(x)=√x,可以规定取正根,定义出根式函数。对复变函 数,w=f()=V=起源于平方函数的开根,当然有两个根 √E=(2*)k=01 能否像实变函数那样规定根式函数只取k=0对应的根?不能。因为若规定只取k=θ对应的根,就等价于确定 了复变量z的辐角,对复平面上的一点,不再让其辐角有±2k丌的自由度。那么,在今后做积分时,若积分路 径是沿圆心于原点的圆逆时针绕一周回到起点,复变量〓在复平面上尽管回到起点,但其之辐角显然比起绕圆 周之前增加了2π,因此,不能剥夺复变量的辐角有±2kπ的自由度。绕圆一周根式的函数值显然不再为原 来的数值(因为辐角增加了2π)。不能将函数值确定为原来的值,也就是说,开平方的根式函数可能有两个 值,不能“拿衣服”地舍去其中某个值,是多值函数 ·也可这样理解,对实变开平方函数,积分只能在实轴上跑,x<0区间是不能到达的,相当于规定了不可逾越的 边界。因此在规定了x=0是不可逾越的边界之后,我们就可以放心地取正根单值函数。对复变函数,由上讨论 知不可能只取单值函数(否则会出现不自洽),那么是否也可以在规定某些不可逾越的边界,函数退化为单值 函数?的确如此,所谓多值函数的割线正是规定了一条不可逾越的鸿沟,之后,函数就退化为单值函数了。例 如,规定负实轴为割线,则在复平面上,w=√=即退化为单值函数,可利用单值函数的性质。我们将先讨论单 值函数 定义域:自变量在z平面内的取值区域 ■值域:函数值w平面内的取值区域。 对自变量在z平面内沿某条曲线L变动,函数值在平面内沿另一条曲线L变动,对单值函数,L与L的点由 w=f(-)确定了一一对应关系。这种对应称为从二平面到w平面的一个映射。这就是复变函数的几何意义 目例题 复变函数 对于复变量在某一个区域取的每一个复数值 z = x +  y [或每一对 (x, y) 值]，按照一定的规律，有 一个或多个复数值 w = u +  v 与之相对应，则称 w 是 z 的函数，记为 w = f (z) w = f (z) = u(x, y) +  v(x, y) (1.18) 印象：两个二元实变函数的有序组合。许多性质是二元函数的推广。仅仅是两个二元实变函数的简单推广？NO！ ◼ 如果一个 z 值对应于一个 w 值，称为单值函数 ，如：w = z2； ◼ 如果一个 z 值对应于多个 w 值，称为多值函数 ，如：w = z1/2 = z ； ◼ 与实变函数之不同，这里的函数定义规定对应“一个或多个复数值”，而实变函数中函数的定义通常是：有确定的值 与之对应，确定，隐含着一个值而非多个值。  多值函数例 ：开根。 y = f (x) = x ，可以规定取正根，定义出根式函数。对复变函 数，w = f (z) = z = z1/2 起源于平方函数的开根，当然有两个根 w = z = r   θ 2 +k π , k = 0, 1  能否像实变函数那样规定根式函数只取 k = 0 对应的根？不能。因为若规定只取 k = 0 对应的根，就等价于确定 了复变量 z 的辐角，对复平面上的一点，不再让其辐角有 ±2 k π 的自由度。那么，在今后做积分时，若积分路 径是沿圆心于原点的圆逆时针绕一周回到起点，复变量 z 在复平面上尽管回到起点，但其之辐角显然比起绕圆 一周之前增加了2π，因此，不能剥夺复变量 z 的辐角有 ±2 k π 的自由度。绕圆一周根式的函数值显然不再为原 来的数值（因为辐角增加了 2 π）。不能将函数值确定为原来的值，也就是说，开平方的根式函数可能有两个 值，不能“拿衣服”地舍去其中某个值，是多值函数。  也可这样理解，对实变开平方函数，积分只能在实轴上跑， x < 0 区间是不能到达的，相当于规定了不可逾越的 边界。因此在规定了 x = 0 是不可逾越的边界之后，我们就可以放心地取正根单值函数。对复变函数，由上讨论 知不可能只取单值函数（否则会出现不自洽），那么是否也可以在规定某些不可逾越的边界，函数退化为单值 函数？的确如此，所谓多值函数的割线正是规定了一条不可逾越的鸿沟，之后，函数就退化为单值函数了。例 如，规定负实轴为割线，则在复平面上，w = z 即退化为单值函数，可利用单值函数的性质。我们将先讨论单 值函数。 ◼ 定义域：自变量在 z 平面内的取值区域。 ◼ 值域：函数值 w 平面内的取值区域。 ◼ 对自变量在 z 平面内沿某条曲线 L 变动，函数值在 w 平面内沿另一条曲线 L′ 变动，对单值函数 ，L 与 L′ 的点由 w = f (z) 确定了一一对应关系。这种对应称为从 z 平面到 w 平面的一个映射。这就是复变函数的几何意义。 ☺ 例题 10 z01a.nb