6.设是一个欧氏空间,a,B∈V,并且l=B,则a+尸B与a-B正交。 7.设V是一个欧氏空间,a,B∈H,并且(ax,B)=0,则a,B线性无关。(x) 8.若a,z都是欧氏空间v的对称变换,则oz也是对称变换。(X) 9.实对称矩阵总是与对角矩阵() 合同;相似:合同且相似 计算题(每小题20分,共40分) 1.把向量组a=(2,-,0),a2=(2,0,1)扩充成R3的一组标准正交基 解:ax=(2,-,),a12=(2,0,1,a1=(0,0,1)线性无关,施密特正交化过程 2-20 2.求正交矩阵T,使r4成对角形。其中A=-21-2 0-20 解:特征值:1-24;特征向量:(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1).正交化得: 212 5=(2,1,),5=(1,2,2),5=(2,-2,1);令T TAT= 四、证明题(每小题20分,共40分) 1.设A,B为同级正交矩阵,且A4=-B,证明:A+B|=0 证明:|A‖A+BHA(A+B=A4+AB'HE+AB (1) BA+BBI(A+B)=BA+BBBA+EHE+AB(2) (1)减(2)得2|4A+B=0,由A≠0知A+B=0.# 2.设A为实对称半正定矩阵,且A≠0,证明:A+E|>0.证:特征值6．设 V 是一个欧氏空间，  , V ，并且   = ，则   + 与   − 正交。 (√) 7．设 V 是一个欧氏空间，  , V ,并且 ( , ) 0   = ，则  , 线性无关。(×) 8．若  , 都是欧氏空间 V 的对称变换，则  也是对称变换。(×) 9. 实对称矩阵总是与对角矩阵（） 合同；相似；合同且相似 三、计算题(每小题 20 分，共 40 分) 1．把向量组 1  = − (2, 1,0)， 2  = (2,0,1) 扩充成 3 R 的一组标准正交基. 解: 1 2 3    = − = = ( , , ), ( , , ), ( , , ) 2 1 0 2 0 1 0 0 1 线性无关,施密特正交化过程… 2．求正交矩阵 T，使 T AT  成对角形。其中 2 2 0 2 1 2 0 2 0 A   −   = − −       − 解:特征值:1,-2,4; 特征向量: (2, 1, -2), (1, 2, 2), (2, -2, 1). 正交化得: 1 1 3  = (2, 1, -2), 1 1 3  = (1, 2, 2), 1 1 3  = (2, -2, 1); 令 2 1 2 1 1 2 2 3 2 2 1 T     = −       − 则 1 2 4 T AT      = −       . 四、证明题(每小题 20 分，共 40 分) 1．设 A，B 为同级正交矩阵，且 A B = − ，证明： A B+ = 0． 证明: | || | | || ( ) | | | | | A A B A A B AA AB E AB + = + = + = +     (1) | || | | || ( ) | | | | | | | B A B B A B BA BB BA E E AB + = + = + = + = +      (2) (1)减(2)得 2 0 | || | A A B+ = ,由 | | A  0 知 A B+ = 0 . # 2．设 A 为实对称半正定矩阵，且 A 0 ，证明： A E+  0 .证:特征值