欧氏空间测试题 填空题(每空3分,共24分) 1.设V是一个欧氏空间,∈V,若对任意n∈V都有(4,n)=0,则 2.在欧氏空间R3中,向量a=(1,0,-1),B=(0,0),那么(a,B)=0, 3.在n维欧氏空间v中,向量在标准正交基m,2…,n下的坐标是 那么(5,m 4.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数 5.已知A是一个正交矩阵,那么A=A,|42=1 二、判断题(每小题2分,共16分) 1.在实线性空间R2中,对于向量a=(x1,x2),B=(y2),定义 (a,B)=(x1y+x2y2+1),那么R2构成欧氏空间。(×) 2.在n维实线性空间R"中,对于向量a=(a1,a2,…,an,B=(b1,b2…,b,), 定义(a,B)=a1b,则R"构成欧氏空间。(×) 3.,l2,…,是n维欧氏空间v的一组基,(x1,x2,…,x,),(y,y2,…,yn与 分别是V中的向量a,B在这组基下的坐标,则 (a,B)=x1+x2y2+…+xyn。(×) 4.对于欧氏空间V中任意向量,m是V中一个单位向量。(×) 56,,…4是n维欧氏空间的一组基矩阵A=(q),其中q=(a,), 则A是正定矩阵。(√)欧氏空间测试题 一、填空题(每空 3 分，共 24 分) 1．设 V 是一个欧氏空间, V ,若对任意  V 都有 ( , ) 0   = ,则  ＝ 0 . 2．在欧氏空间 3 R 中，向量  = − (1,0, 1)， = (0,1,0) ，那么 ( , )   ＝ 0 ,  ＝ 2 ． 3．在 n 维欧氏空间 V 中，向量  在标准正交基 1 2 , , ,   n 下的坐标是 1 2 ( , , , ) n x x x ，那么 ( , )i   ＝ i x ,  ＝ 2 1 n i i x =  ． 4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数． 5．已知 A 是一个正交矩阵，那么 1 A − ＝ A， 2 A ＝ 1 ． 二、判断题(每小题 2 分，共 16 分) 1 ． 在实 线 性 空间 2 R 中 ， 对 于 向量 1 2 1 2   = = ( , ), ( , ) x x y y ，定义 1 1 2 2 ( , ) ( 1)   = + + x y x y ，那么 2 R 构成欧氏空间。( × ) 2．在 n 维实线性空间 n R 中，对于向量 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) n n   = = a a a b b b ， 定义 1 1 ( , )   = a b ，则 n R 构成欧氏空间。 ( × ) 3． 1 2 , , , n    是 n 维欧氏空间 V 的一组基， 1 2 1 2 ( , , , ),( , , , ) n n x x x y y y 与 分别是 V 中的向量  , 在这组基下的坐标，则 1 1 2 2 ( , ) n n   = + + + x y x y x y 。( × ) 4．对于欧氏空间 V 中任意向量  ， 1   是 V 中一个单位向量。( × ) 5．1 2 , , , n    是 n 维欧氏空间的一组基，矩阵 ( ij)n n A a  = ，其中 ( , ) ij i j a =   ， 则 A 是正定矩阵。( √ )