文登学校 【分析】根据全微分和初始条件可先确定fxy)的表达式.而fxy)在椭圆域上的最大 值和最小值,可能在区域的内部达到,也可能在区域的边界上达到,且在边界上的最值又转 化为求条件极值 【详解】令9=2x=0.9=-2y=0得可能极值点为x0y=0.且 xavi(0,0) △=B2-AC=4>0,所以点(0,0)不是极值点,从而也非最值点 再考虑其在边界曲线x2+y=1上的情形:令拉格朗日函数为 F(xy,)=f(x,y)+x(x2+y-1), F=2+2x=2(1+4)x=0, 解F F 得可能极值点x=0,y=2,λ=4;x=0,y=-2,λ=4:x=1,y=0,4=-1 x=-1,y=0,=-1.代入fxy)得f(0±2)=-2,f(±10)=3,可见zf(xy)在区域 D={(x,y)x2+≤1内的最大值为3,最小值为2 【评注】本题综合考查了多元函数微分学的知识,涉及到多个重要基础概念,特别 是通过偏导数反求函数关系,要求考生真正理解并掌握了相关知识 当在区域边界上求极值时,也可将y2=4-4x2代入fxy)=5x2-2,转化为一元函数 求极值 完全类似例题见《数学复习指南》(经济类)P178【例729】 (19)(本题满分8分) 设f(x)g(x)在[O,1上的导数连续,且fO=0,f(x)≥0,g(x)≥0.证明:对任何a∈[0,1 gx)y(x)t+(xg(x)f(og()文登学校 9 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定 f(x,y)的表达式. 而 f(x,y)在椭圆域上的最大 值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转 化为求条件极值. . 【 详 解 】 令 2 0, = −2 = 0   = =   y y f x x f 得 可 能 极 值 点 为 x=0,y=0. 且 2 (0,0) 2 2 =   = x f A ， 0 (0,0) 2 =    = x y f B ， 2 (0,0) 2 2 = −   = y f C ， 4 0 2  = B − AC =  ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线 1 4 2 2 + = y x 上的情形：令拉格朗日函数为 1) 4 ( , , ) ( , ) ( 2 2 = + + − y F x y  f x y  x ， 解           = + − = + = − + =    = + = + =    = 1 0, 4 0, 2 1 2 2 2 2(1 ) 0, 2 2 y F x y y y y f F x x x f F y x      得 可 能 极 值 点 x = 0, y = 2, = 4 ； x = 0, y = −2, = 4 ； x = 1, y = 0, = −1 ； x = −1, y = 0, = −1. 代入 f(x,y)得 f (0,2) = −2, f (1,0) = 3 ，可见 z=f(x,y)在区域 1} 4 {( , ) 2 2 = +  y D x y x 内的最大值为 3，最小值为-2. 【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别 是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识. 当在区域边界上求极值时，也可将 2 2 y = 4 − 4x 代入 f(x,y)= 5 2 2 x − ,转化为一元函数 求极值. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.178【例 7.29】 （19）（本题满分 8 分） 设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f (x)  0 , g (x)  0 .证明：对任何 a [0,1], 有    +   a g x f x dx f x g x dx f a g 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)