其中p(a)=p(b).试证明,当 时,对应不同本征值的本征函数正交 4.设本征值问题 型 的解(本征函数)为重k,对应的本征值为λk,这里的k是本征值的编号.试证明:当A=0 不是本征值时, Poisson方程的第一类边值问题 的解为 A Ak是非齐次项∫按{k}展开的系数 Ak更 这里假设重k已归一化 5.用第4题的方法求解矩形区域0≤x≤a,0≤y≤b内 Poisson方程的定解问题 0 第十九章积分变换 1.用 Laplace变换求解半无界问题: Ox2=0, x>0,t>0, u2=0=0,叫有界,t>0, =0=0 2.设有两个半无界杆,温度分别为0和u0,在t=0时将两杆端点相接,求t>0时杆 中各点的温度分布Wu Chong-shi ❦ ❧ 23 ❣❤ p(a) = p(b) ✑✽ t✉✞✰       α11 α12 α21 α22       = 1 ✵✞✲➪➶➹➽➾➚☎➽➾❴❋➘➴✑ 4. ❁➽➾➚✿❀ ∇2Φ + λΦ = 0, Φ   Σ = 0 ☎✺ (➽➾❴❋) ☛ Φk ✞✲➪☎➽➾➚☛ λk ✞➜➝☎ k ➷➽➾➚☎➬➮✑✽ t✉❞✰ λ = 0 ➶➷➽➾➚✵✞ Poisson ✶✷☎➱✌✃⑥➚✿❀ ∇ 2u = −f, u   Σ = 0 ☎✺☛ u = X k Ak λk Φk, Ak ➷❐❒❮❰ f ❵ {Φk} ❜❝☎Ï❋✞ f = X k AkΦk. ➜➝Ð❁ Φk ✐ Ñ ✌ ➄ ✑ 5. ✧➱ 4 ❀☎✶Ò✾ ✺Ó④Ô➢ 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b ❍ Poisson ✶✷☎✹✺✿❀ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = −f(x, y), u   x=0 = 0, u   x=a = 0, u   y=0 = 0, u   y=b = 0. ♠♥Õ♣ Ö➩➭× 1. ✧ Laplace ➃Ø✾ ✺❂Ù✼✿❀❞ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = 0, x > 0, t > 0, u   x=0 = u0, u   x→∞ ✻✼, t > 0, u   t=0 = 0, x > 0. 2. ❁✻Ú◗❂Ù✼Û✞❈❉❏➠☛ 0 ✈ u0 ✞✒ t = 0 ✵❪ÚÛ✍Ü✱▲✞✾ ❤Ý t > 0 ✵Û Ü☎❈❉❏❑✑