定理2设φ是C上n维线性空间V的线性变换,φ的不同特征值为A1 则 R(A入1)⊕R(A2)⊕…⊕R(入) 其中R(A)是入的根子空间,dimR(A)=入的代数重数,R(A)可表为若干个循 环子空间的直和 特征子空间 记A为9的特征根,V1={∈Vp(v)=A1}是A1的特征子空间,显然有 Vx1sR(A1)=V⊕…⊕V,那么V1在哪里呢? 因为Ⅵ是φ-子空间,记≤1,52,…,5n1是V的循环基 ylh(51,52,…,5n)=(51,2,…,5n) 入 易知1∈Vx1,又因为r(入1I-J1)=r1-1,所以V中只有一个线性无关的特征向 量.同理,V,1≤j≤t中只有一个线性无关特征向量 进一步,51,5n1+1,5n1+n+1,…,5n+…+m1-1+1,这t个向量来自R(A1)的不同直 和项,它们是线性无关的属于入1的特征向量.又因为 入1In1-J 入1Ir2-J2 入1I-J 因为 r(1l2-J) 7-1;1≤j≤ ;t<i<k 故r(1I-J)=1+2+…+rk-t=n-t,所以dimV1=t.这样51,5n1+1,5n1+2+1 ,5n1+…+1-1+1构成V1的基 引理2φ的若干标准形中属于特征值λ的若当块的个数等于λ的几何重数! 注6φ的所有特征值的几何重数等于代数重数 兮φ的若当标准形中属于λ的若当块数等于属于λ的若当块的阶数之和; 2 $ ϕ . C " n ALUp℄ V (LU Q
ϕ (<9x} λ1, λ2, · · · , λs, s V = R(λ1) ⊕ R(λ2) ⊕ · · · ⊕ R(λs) 
R(λi) . λi (Bp℄
dimR(λi) = λi ("11
R(λi) o ?AY Op℄(|K !9xp℄ Y λ1  ϕ (9xB
Vλ1 = {v ∈ V |ϕ(v) = λ1v} . λ1 (9xp℄
Jk Vλ1 ⊆ R(λ1) = V1 ⊕ · · · ⊕ Vt ,  Vλ1 r u  e V1 . ϕ- p℄
Y ξ1, ξ2, · · · , ξr1 . V1 (YOS ϕ|V1 (ξ1, ξ2, · · · , ξr1 ) = (ξ1, ξ2, · · · , ξr1 )   λ1 1 . . . . . . . . . 1 λ1   r1 az ξ1 ∈ Vλ1 , le r(λ1I − Jλ1 ) = r1 − 1, 6` V1
k_ALUEE(9xO y<t
Vj , 1 ≤ j ≤ t
k_ALUEE9xOy g_
ξ1, ξr1+1, ξr1+r2+1, · · · , ξr1+···+rt−1+1, v t AOys R(λ1) (<| KN
7.LUEE(0m λ1 (9xOyle λ1I − J =   λ1Ir1 − J1 λ1Ir2 − J2 . . . λ1Irk − Jk   , e r(λ1Irj − Jj ) =  rj − 1; 1 ≤ j ≤ t rj ;t < j < k D r(λ1I −J) = r1+r2+· · ·+rk−t = n−t, 6` dimVλ1 = t. v[ ξ1, ξr1+1, ξr1+r2+1, · · ·, ξr1+···+rt−1+1 C Vλ1 (S  2 ϕ ( ?ÆT
0m9x} λi ( %q(A1)m λi (XL1￾  6 ϕ (6k9x}(XL1)m"11 ⇔ ϕ ( %ÆT
0m λi ( %q1)m0m λi ( %q(d1{K 4