反之,因V,1≤j≤k是φ子空间,因而也是(-A1id)-子空间设 V(9-A1id)4()=0,在U=n1+2+…+k,v∈V中假设0≠v∈V,t<j≤k 设V的基为5h+1,5h+2,……,5h+r;,h=n1+…+r-1,则 5h+r)=(5h+1,5h+2,…,5h+;) 所以 入;-A11 (y-A1il)2(5h+1,…,5h+n)=(5h+1,…5h+) 11 因为入≠A,所以 为可逆矩阵,故(y-A1id) 入-A1 在 V的限制映射为可逆映射,故(-A1id)(vy)≠0.因为v=V⊕V田…⊕V是 (y-A1id)-不变子空间的直和分解,所以(-A1id)u≠0,矛盾 这就证明了v在不属于A1的每个循环子空间的分量为零,故U∈R(A1) 注2从证明过程中可以看出引理中R(A1)={v∈V|(y-Aid)m(v)=0} 定义2设A是C上n维空间上线性变换φ的特征根,则R(0)={∈ V|(φ-λ1id)n()=0}构成V的子空间,称为属于特征根入o的根子空间 注3根子空间是φ-子空间. 注4R(0)=ker(y-Aidn 注5R(AM0)可表为若干个循环子空间的直和,每个循环子空间对应一个若当块 上面引理1对其余R(A)也成立,故有:8{
e Vj , 1 ≤ j ≤ k . ϕ- p℄
e4℄. (ϕ − λ1id) l1 - p℄$ v ∈ V,(ϕ−λ1id) l1(v) = 0, r v = v1+v2+· · ·+vk, vi ∈ Vi

\$ 0 6= vj ∈ Vj , t < j ≤ k, $ Vj (S ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj , h = r1 + · · · + rj−1, s ϕ(ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj ) = (ξh+1, ξh+2, · · · , ξh+rj )   λj 1 . . . . . . . . . 1 λj   , 6` (ϕ − λ1id) l1 (ξh+1, · · · , ξh+rj ) = (ξh+1, · · · , ξh+rj )   λj − λ1 1 . . . . . . . . . 1 λj − λ1   l1 , e λj 6= λ1, 6`   λj − λ1 1 . . . . . . . . . 1 λj − λ1   l1 oiw
D (ϕ − λ1id) l1 r Vj (K￾h#oh#
D (ϕ − λ1id) l1 (vj ) 6= 0. e V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk . (ϕ − λ1id) l1 -  p℄(|K<f
6` (ϕ − λ1id) l1 v 6= 0,
2 vhyz v r0m λ1 (AYOp℄(<y{
D v ∈ R(λ1). 2  2 yI
o`nft
R(λ1) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) n (v) = 0}.  2 $ λ0 . C " n Ap℄"LU Q ϕ (9xB
s R(λ0) = {v ∈ V |(ϕ − λ1id) n (v) = 0} C V (p℄
0m9xB λ0 (Bp℄  3 Bp℄. ϕ- p℄  4 R(λ0) = ker(ϕ − λ1id) l .  5 R(λ0) o ?AYOp℄(|K
AYOp℄1g_A %q "ft 1 1n R(λi) ℄w
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