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.268 北京科技大学学报 第31卷 前馈学习控制器能够实现快速的完全跟踪任务，从 高了系统的鲁棒跟踪性能，在此基础上，通过减小 而保证系统的学习收敛速度，系统具体结构如图1 系统输入误差协方差矩阵迹的方式得到优化遗忘因 所示.其中，y,(i,j)∈R2x1为系统期望输入，包含 子的取值规律：因为矩阵迹的减小能够代表输入误 期望直线位置d(i,j)和直线速度vr(i,j),期望 差向量元素均方差值的减小，最终使系统跟踪误差 直线位置d,(i,j)与实际直线位置d(i,j)相比较 减小. 得到直线位置误差ea(i,j),同时送入位置调节器 假设系统满足如下特性：当期望输出Y(i,) 得到期望直线速度.(i,j),并与实际直线速度 时，仅存在唯一的有界输入4(i,)使系统满足 v(i,j)相比较得到直线速度误差e,(i,j),构成直 X(i1,j)=(i)X.(i,j)Bu(i,j) (9) 线伺服系统的二维误差信号： Y(i,j)=CX(i,j) e(i,j)=[e(i,j) ea(i,j)] (3) 令状态误差向量为△x(i,j)=X(i,j)一 一F网一亭g存储器 X(i,j),输入误差向量为△u(i,j)=u(i,j)一 viniD u(i,j). Ig-adi.) 4e(.J) i站 在迭代学习控制的离散时间域内，通过状态方 程的递推运算可以得到时刻(i十m)时的状态变量： i,) [X+l,D=(0i,+B4,D (i,) X(计m,j)= Y(i.)cx(i.) 图1开闭环迭代学习伺服控制系统 ()K(i)+2()Bx(计1一1，） Fig.1 Open-closed loop iterative learning servo control system (10) 将其分别代入式(1)和(9)中，得到系统的输出 将该误差信号送入带有遗忘因子的滤波器型开 误差为： 闭环迭代学习控制器中，得到永磁直线同步电机控 e(i+m,j)=Y(i十m,j)一Y(i十m,j)= 制输入量的迭代学习控制律为： u(i,j)=u(i,j）十m(i,j） (4) C()△x(i,》十之c()n-g△M+1-1,》 三1 其中，前馈学习控制器输出： (11) (i,j十1)= 同时，结合式(4)描述的遗忘因子型迭代学习控制 [Ig-a(i,j)]u(i,j)+LpI[FMe(i,j)](5) 律，得到输入误差的迭代公式为： 反馈学习控制器输出： Au(i,j+1)=[Ig+Lp2 H(i)B][I- um(i,j)=Lp2e(i,j） (6) a(i,j)-LpI FMH(i)B]Au(i,j) 将式(5)和(6)代入式(4)中可以看出，第j次开 a(i,j)u(i,j)-Lpl FM Hm(i)△X(i,j)一 闭环迭代控制输入(i,)中不仅包含前次迭代输 Lp2Hm(i)△x(i,j+1)f (12) 出误差信息e(i,j一1)，同时也包含当前输出误差 信息e(i,j)式中，(i,j)为遗忘因子矩阵，FM为 其中，H.()=空C()-1 =1 零相位FIR数字滤波器算子，L1为前馈学习增益， 由上式可以看出，△u(i,j十1)是遗忘因子 L2为反馈学习增益，下面给出遗忘因子矩阵及零 (i,)的函数，因此得到输入误差协方差矩阵为： 相位FIR数字滤波器的设计方法， c0V[△u(i,j+1),△u(i,j+1)]=C0V(a(i,j)) 2.1遗忘因子矩阵 (13) 在直线伺服系统中引入遗忘因子矩阵α(i,j) 这样，能够通过减小系统输入误差协方差矩阵 修正迭代学习律，保证系统第广次迭代学习计算中， 迹的方式来得到优化的遗忘因子矩阵a*(i,j): 在该迭代学习域的每个时间域上使输入误差进一步 2ltrace[COV(a(i=0 减小，遗忘因子矩阵基本取值原则满足公式： aa(i,j） (14) 0≤[lE-a(i,j)]<IE (7) 使j+1次输入变量u(i,j+1)→u(i,j+1), lim a(i,j)=0 (8) 也即获得唯一的控制输入(i,j十1)，使时间域内 这样，系统在迭代学习域中后续时间域上的误 的系统输出limY(i,j)=Y.(i) 差将小于前面时间域上的误差，并保证控制输入收 2.2零相位FIR数字滤波器 敛到期望控制，系统得到很好的输出跟踪，同时也提 迭代学习控制系统在实际运行中，对量测信号前馈学习控制器能够实现快速的完全跟踪任务从 而保证系统的学习收敛速度．系统具体结构如图1 所示．其中Yr（ ij）∈R 2×1为系统期望输入包含 期望直线位置 dr（ ij）和直线速度 vr（ ij）．期望 直线位置 dr（ ij）与实际直线位置 d（ ij）相比较 得到直线位置误差 ed （ ij）同时送入位置调节器 得到期望直线速度 vr （ ij ）并与实际直线速度 v （ ij）相比较得到直线速度误差 ev （ ij）构成直 线伺服系统的二维误差信号： e（ ij）＝［ ev（ ij） ed（ ij）］ T （3） 图1 开闭环迭代学习伺服控制系统 Fig．1 Open-closed loop iterative learning servo control system 将该误差信号送入带有遗忘因子的滤波器型开 闭环迭代学习控制器中得到永磁直线同步电机控 制输入量的迭代学习控制律为： u（ ij）＝ uff（ ij）＋ ufb（ ij） （4） 其中前馈学习控制器输出： uff（ ij＋1）＝ ［ IE－α（ ij）］ u（ ij）＋ Lp1［ F ∗ M e（ ij）］ （5） 反馈学习控制器输出： ufb（ ij）＝ Lp2e（ ij） （6） 将式（5）和（6）代入式（4）中可以看出第 j 次开 闭环迭代控制输入 u（ ij）中不仅包含前次迭代输 出误差信息 e（ ij－1）同时也包含当前输出误差 信息 e（ ij）．式中α（ ij）为遗忘因子矩阵F ∗ M 为 零相位 FIR 数字滤波器算子Lp1为前馈学习增益 Lp2为反馈学习增益．下面给出遗忘因子矩阵及零 相位 FIR 数字滤波器的设计方法． 2∙1 遗忘因子矩阵 在直线伺服系统中引入遗忘因子矩阵 α（ ij） 修正迭代学习律保证系统第 j 次迭代学习计算中 在该迭代学习域的每个时间域上使输入误差进一步 减小．遗忘因子矩阵基本取值原则满足公式： 0≤［ IE－α（ ij）］＜ IE （7） limj→∞ α（ ij）＝0 （8） 这样系统在迭代学习域中后续时间域上的误 差将小于前面时间域上的误差并保证控制输入收 敛到期望控制系统得到很好的输出跟踪同时也提 高了系统的鲁棒跟踪性能．在此基础上通过减小 系统输入误差协方差矩阵迹的方式得到优化遗忘因 子的取值规律；因为矩阵迹的减小能够代表输入误 差向量元素均方差值的减小最终使系统跟踪误差 减小． 假设系统满足如下特性：当期望输出 Yr（ ij） 时仅存在唯一的有界输入 ur（ ij）使系统满足 Xr（ i＋1j）＝Φ（ i）Xr（ ij）＋Bur（ ij） Yr（ ij）＝CXr（ ij） （9） 令状态误差向量为 ΔX （ ij ） ＝ Xr （ ij ） － X（ ij）输入误差向量为 Δu（ ij ）＝ ur （ ij ）－ u（ ij）． 在迭代学习控制的离散时间域内通过状态方 程的递推运算可以得到时刻（ i＋ m）时的状态变量： X（ i＋ mj）＝ Φ（ i） mX（ ij）＋ ∑ m l＝1 Φ（ i） m－ lBX（ i＋ l－1j） （10） 将其分别代入式（1）和（9）中得到系统的输出 误差为： e（ i＋ mj）＝Yr（ i＋ mj）－Y（ i＋ mj）＝ CΦ（ i） mΔX（ ij）＋ ∑ m l＝1 CΦ（ i） m－lBΔu（ i＋l－1j） （11） 同时结合式（4）描述的遗忘因子型迭代学习控制 律得到输入误差的迭代公式为： Δu（ ij＋1）＝［ IE＋ Lp2Hm（ i）B］ －1｛［ IE－ α（ ij）－ Lp1F ∗ M Hm（ i）B］Δu（ ij）＋ α（ ij） ur（ ij）－ Lp1F ∗ M Hm（ i）ΔX（ ij）－ Lp2Hm（ i）ΔX（ ij＋1）｝ （12） 其中Hm（ i）＝ ∑ m l＝1 CΦ（ i） m－ l． 由上式可以看出Δu（ ij ＋1） 是遗忘因子 α（ ij）的函数因此得到输入误差协方差矩阵为： COV ［Δu（ ij＋1）Δu（ ij＋1）］＝COV（α（ ij）） （13） 这样能够通过减小系统输入误差协方差矩阵 迹的方式来得到优化的遗忘因子矩阵 α∗（ ij）： ∂｛trace［COV（α（ ij））］｝ ∂α（ ij） ＝0 （14） 使 j＋1次输入变量 u（ ij＋1）→ ur（ ij＋1） 也即获得唯一的控制输入 ur（ ij＋1）使时间域内 的系统输出limj→∞ Y（ ij）＝Yr（ i）． 2∙2 零相位 FIR 数字滤波器 迭代学习控制系统在实际运行中对量测信号 ·268· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷