《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 第七章实数的完备性 §1实数完备性的等价命题 一、问题提出 定理11（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理（定理1.1）揭示了实数的连续性和实数的完备性.与之等价的还有五大命题 这就是以下的定理1.2至定理1.6. 定理1.2（单调有界定理）任何单调有界数列必定收敛. 定理1.3（区间套定理）设4,6，》为一区间套： [a,8 ]3[am.b12. 2照(6-4，)-0 则存在唯一一点∈[a点，]，n-12,. 定理1.4（有限覆盖定理）设H-(化)是闭区间a,b]的一个无限开覆盖，即a,b] 中每一点都含于H中至少一个开区间（出8）内.则在H中必存在有限个开区间，它们构成a,b] 的一个有限开覆盖. 定理1.5（聚点定理）直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点片即在的任意小邻 域内都含有S中无限多个点（本身可以属于S,也可以不属于S). 定理1.6（柯西准则）数列0，收敛的充要条件是：Y>0,3NeN,只要m>,恒 有a“,K8.(后者又称为柯西(Cauchy)条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基 本列.) 这些定理构成极限理论的基础.我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会 怎样用它们去证明别的命题.下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具， 下图中有三种不同的箭头，其含义如下： ◆，(1)~(3)基本要求类 (4)(7)阅读参考类 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 1 第七章 实数的完备性 §1 实数完备性的等价命题 一、问题提出 定理 1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题, 这就是以下的定理 1.2 至定理 1.6． 定理 1.2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． 定理 1.3 (区间套定理） 设 为一区间套： ． 则存在唯一一点 定理 1.4 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖,即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间,它们构成 的一个有限开覆盖． 定理 1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ,即在 的任意小邻 域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ,也可以不属于 ）． 定理 1.6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是： ,只要 恒 有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基 本列．） 这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会 怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具． 下图中有三种不同的箭头,其含义如下： ： (1)～(3) 基本要求类 ： (4)～(7) 阅读参考类