第5期 王利等：基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·463 (5) g(o,up)=01-03 N (11) 这里，主应力符号压为负，且o<2<3,c是内聚 式中，表示Ω=1时，即材料拉伸完全损伤时的应 力，为塑性内变量，表示潜在破坏面上的塑性滑 变量，由式(1)、(4)两式构造广义压缩条件下的损 移.N是内摩擦角中的函数： 伤变量为： _1十sinΦ N一1一sin中 (12) n=He (6) 在考虑强化一软化特性时，上述材料参数是塑 这里H=2件8.H-2a件 性内变量，的函数c(p)、N(p),其意义如图2 各向同性的损伤本构关系表述为： 所示 =Edg-gou5y (1-0)1 (7) 1.2.3应用举例 为了验证模型的正确性，给出单轴拉伸和压缩 两种情形的应用 (1)单轴拉伸情形 2三3=一UE1 代入式（③），在a、v的合理取值范围，不难验证2≤ 二)ta-y,且F=2t四e1,代入式 (1-)(1+a) 1+a 图2剪切滑动应变 ().得n Fig-2 Displacement on the sliding plane ,由此推得损伤本构方程为： o1=Ee1(1-2) up=E1/cos0 (13) (8) 塑性应变增量由塑性位势理论给出： (2)单轴压缩情形. E1=2=一v3 d=di ∂o (14) 代入式(4)，在&、v的合理取值范围，不难验证2> d入根据一致性条件df=0确定，得： =)ty,且r=二2小g,代入 (1-)(1+a) 1+a 8o+号影u,-0 df-ac (15) 式(6)，得Ω= ”,由此推得损伤本构方程为： 由式(13)和(14)，可得： 3=E3(1-2) (9) 若d+影以=0 df=a。 (16) 这与文献[7]的结果完全一致， 双剪损伤模型的双轴情形公式较为复杂，可参 (17) 见文献[14]类似的验证.三轴情形一直没有得到验 do=D:(de-de)=:ds-da2g 证，本文将给出其CT实验观测的对比验证结果， 代入式(16)，得： 2基于摩擦的塑性本构模型 af:p:de ∂ dλ= (18) 岩石材料塑性表现为剪切面上的不可逆滑移. :w%-B a0 剪切面上复杂的软化、硬化特性可以很好地揭示材 代入式(17)，得增量形式的应力应变关系： 料屈服过程复杂的力学特性，本文基于莫尔一库仑 do=DPds (19) 理论，在传统塑性理论的框架内，推导出各向异性弹 D°为无损材料的弹性刚度，DP为无损材料的弹塑 塑性损伤本构关系， 性切向弹性刚度，其矩阵表示： 2.1弹塑性损伤本构模型 a013o D 取塑性屈服函数为摩尔库仑准则： DP=D- (20) f=f(o,p)=o1-3N+2cNN(10) ao D八a可 -3 其塑性势函数为可： B表示塑性硬化部分：Ω＝ ｜F｜ Hε′s n′ （5） 式中‚ε′s 表示 Ω＝1时‚即材料拉伸完全损伤时的应 变量．由式（1）、（4）两式构造广义压缩条件下的损 伤变量为： Ω＝ ｜F′｜ H′εs n （6） 这里‚H＝ 2（1＋v ） 1＋α ‚H′＝ 2α（1＋v ） 1＋α ． 各向同性的损伤本构关系表述为： εij＝ 1＋v E σij－ v E σkkδij （1－Ω） －1 （7） 1∙2∙3 应用举例 为了验证模型的正确性‚给出单轴拉伸和压缩 两种情形的应用． （1） 单轴拉伸情形． ε2＝ε3＝－vε1 代入式（3）‚在 α、v 的合理取值范围‚不难验证ε2≤ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） ‚且 F＝ 2（1＋v ） 1＋α ε1‚代入式 （5）‚得 Ω＝ ε1 ε′s n′ ‚由此推得损伤本构方程为： σ1＝ Eε1（1－Ω） （8） （2） 单轴压缩情形． ε1＝ε2＝－vε3 代入式（4）‚在 α、v 的合理取值范围‚不难验证ε2＞ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） ‚且 F＝ －2α（1＋v ） 1＋α ε3‚代入 式（6）‚得 Ω＝ ε3 εs n ．由此推得损伤本构方程为： σ3＝ Eε3（1－Ω） （9） 这与文献［7］的结果完全一致． 双剪损伤模型的双轴情形公式较为复杂‚可参 见文献［14］类似的验证．三轴情形一直没有得到验 证‚本文将给出其 CT 实验观测的对比验证结果． 2 基于摩擦的塑性本构模型 岩石材料塑性表现为剪切面上的不可逆滑移． 剪切面上复杂的软化、硬化特性可以很好地揭示材 料屈服过程复杂的力学特性．本文基于莫尔－库仑 理论‚在传统塑性理论的框架内‚推导出各向异性弹 塑性损伤本构关系． 2∙1 弹塑性损伤本构模型 取塑性屈服函数为摩尔－库仑准则： f＝ f （σ‚up）＝σ1－σ3N●＋2c N● （10） 其塑性势函数为［15］： g（σ‚up）＝σ1－σ3N● （11） 这里‚主应力符号压为负‚且 σ1＜σ2＜σ3．c 是内聚 力‚up 为塑性内变量‚表示潜在破坏面上的塑性滑 移．N●是内摩擦角●的函数： N●＝ 1＋sin● 1－sin● （12） 在考虑强化－软化特性时‚上述材料参数是塑 性内变量 up 的函数 c（ up）、N●（ up）‚其意义如图2 所示． 图2 剪切滑动应变 Fig．2 Displacement on the sliding plane up＝ε1／cosθ （13） 塑性应变增量由塑性位势理论给出： dεp＝dλ ∂g ∂σ （14） dλ根据一致性条件 d f＝0确定‚得： d f＝ ∂f ∂σ ∶dσ＋ ∂f ∂up d up＝0 （15） 由式（13）和（14）‚可得： d f＝ ∂f ∂σ ∶dσ＋ ∂f ∂up 1 cosθ ∂g ∂σ1 dλ＝0 （16） 又 dσ＝ D e∶（dε－ dεp ）＝ D e∶ dε－dλ ∂g ∂σ （17） 代入式（16）‚得： dλ＝ ∂f ∂σ ∶D e∶dε ∂f ∂σ ∶D e∶ ∂g ∂σ －β （18） 代入式（17）‚得增量形式的应力应变关系： dσ＝ D ep dε （19） D e 为无损材料的弹性刚度‚D ep为无损材料的弹塑 性切向弹性刚度‚其矩阵表示： D ep＝ D e－ D e ∂g ∂σ ∂f ∂σ T D e ∂f ∂σ T D e ∂g ∂σ －β （20） β表示塑性硬化部分： 第5期 王 利等： 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·463·