D0I:10.13374/1.issm100103.2008.05.020 第30卷第5期 北京科技大学学报 Vol.30 No.5 2008年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing My2008 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 王利)高 谦) 1)河南理工大学土木工程学院，焦作4540002)北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要根据单轴受力特性曲线唯象地考察岩石材料损伤演化，定义弹性应变表示的一维损伤变量及其本构模型，利用双剪 强度理论将其推广至三维模型。塑性是潜在破坏面的摩擦滑移，在传统塑性理论的框架中，建立了基于摩尔一库仑强度理论与 潜在滑移面摩擦软硬化特性的各向异性损伤弹塑性本构关系。结果表明，计算的损伤演化与CT观测结果符合很好，用本文 的弹塑性模型反映损伤材料的力学特性是可行的. 关键词岩石；损伤模型；双剪理论：摩擦塑性 分类号TD853.36+4:0346.5 Elastoplastic model of damaged rock based on the strength theory WANG Li,GAO Qian2) 1)School of Civil Engineering.Henan Polytechnic University.Jiaozuo54000.China 2)Department of Civil and Environmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI The one-dimensional damage variable was defined based on the elasto-brittle behavior of rock under uniaxial loading. To define the damage and its evolution in three-dimensional loading,the twin"shear theory was introduced to generalize the one-di- mensional damage model into the three-dimensional model.The elastic behavior of the damaged material under loading can be ex- pressed by reducing the elastic module,and the plastic flow can be represented by the slide on the plane between the two parts of the fractured rock.To establish the elastoplastic model of the damaged material.the concept of effective stress was used to contain the ef- fects of damage in the yielding equation as well as in the function of plastic potential.The model was established in the frame of the classical plasticity theory in which the Mohr-Coulomb criterion was employed as the yielding criterion,and the friction law on the pre- sliding plane was taken as the hardening"softening rule to describe the change of the yielding surface with the progressive yielding. The comparison of the calculated results with tested results by a CT machine shows that the damage model presented in the paper can accurately describe the damage evolution of rock in Nangiao Sandstone,and that the damage-elasto plastic model is indeed feasible in describing the mechanical properties of the damaged material. KEY WORDS rock:damage model:twin-shear theory:friction plasticity 岩石中存在着大量的随机分布的微裂纹，大量 岩石损伤的丰富信息，所以，建立在材料基本力学 细观实验观察表明)，岩石屈服破坏是一个微裂 特性基础上的唯象方法仍然是研究材料损伤及其演 纹萌生、扩展、贯通以及宏观裂隙面滑移的过程、在 化的重要方法，建立了很多损伤模型，如Loland、 连续介质力学中，用损伤和塑性来描述材料力学性 Marzars模型6]、周维垣的弹脆性损伤模型]、 质的这种不可逆变化， Lematre[s,Brook、高路彬等人的模型).唯象方法 对于损伤的描述，从材料的细观损伤机理出发， 的关键是如何实现从一维模型向三维模型的推广， 反映材料内部微裂纹、微孔洞等损伤基元演化行为 各模型基于损伤由拉应变产生、压应变不产生损伤 的模型已经有很多到，但是，最新揭示的损伤机 的细观机理，研究材料单元的单侧受力特性，在模型 理]表明，现有的细观损伤模型并不能够完全反映 中使用一个Heaviside算子来屏蔽压应变对损伤的 贡献，并以此建立三维各向异性损伤本构模型，研 收稿日期：2007-03-07修回日期：2007-10-22 究发现，上述模型适应能力差，某些情况下不能反映 作者简介：王利(1969一)，男，副教授，博士， 三轴应力下岩石损伤，本文提出了基于双剪强度理 E-mail:wlcjwh@163.com 论的三维各向同性损伤模型，计算结果与CT观测
基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 王 利1） 高 谦2） 1） 河南理工大学土木工程学院焦作454000 2） 北京科技大学土木与环境工程学院北京100083 摘 要 根据单轴受力特性曲线唯象地考察岩石材料损伤演化定义弹性应变表示的一维损伤变量及其本构模型利用双剪 强度理论将其推广至三维模型．塑性是潜在破坏面的摩擦滑移在传统塑性理论的框架中建立了基于摩尔－库仑强度理论与 潜在滑移面摩擦软－硬化特性的各向异性损伤弹塑性本构关系．结果表明计算的损伤演化与 CT 观测结果符合很好用本文 的弹塑性模型反映损伤材料的力学特性是可行的． 关键词 岩石；损伤模型；双剪理论；摩擦塑性 分类号 TD853∙36＋4；O346∙5 Elastoplastic model of damaged rock based on the strength theory W A NG Li 1）GA O Qian 2） 1） School of Civil EngineeringHenan Polytechnic UniversityJiaozuo454000China 2） Department of Civil and Environmental EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he one-dimensional damage variable was defined based on the elasto-brittle behavior of rock under uniaxial loading． To define the damage and its evolution in three-dimensional loadingthe twin-shear theory was introduced to generalize the one-dimensional damage model into the three-dimensional model．T he elastic behavior of the damaged material under loading can be expressed by reducing the elastic moduleand the plastic flow can be represented by the slide on the plane between the two parts of the fractured rock．To establish the elastoplastic model of the damaged materialthe concept of effective stress was used to contain the effects of damage in the yielding equation as well as in the function of plastic potential．T he model was established in the frame of the classical plasticity theory in which the Mohr-Coulomb criterion was employed as the yielding criterionand the friction law on the presliding plane was taken as the hardening-softening rule to describe the change of the yielding surface with the progressive yielding． T he comparison of the calculated results with tested results by a CT machine shows that the damage model presented in the paper can accurately describe the damage evolution of rock in Nanqiao Sandstoneand that the damage-elasto-plastic model is indeed feasible in describing the mechanical properties of the damaged material． KEY WORDS rock；damage model；twin-shear theory；friction plasticity 收稿日期：2007-03-07 修回日期：2007-10-22 作者简介：王 利（1969－）男副教授博士 E-mail：wlcjwh＠163．com 岩石中存在着大量的随机分布的微裂纹．大量 细观实验观察表明［1－3］岩石屈服破坏是一个微裂 纹萌生、扩展、贯通以及宏观裂隙面滑移的过程．在 连续介质力学中用损伤和塑性来描述材料力学性 质的这种不可逆变化． 对于损伤的描述从材料的细观损伤机理出发 反映材料内部微裂纹、微孔洞等损伤基元演化行为 的模型已经有很多［4］．但是最新揭示的损伤机 理［5］表明现有的细观损伤模型并不能够完全反映 岩石损伤的丰富信息．所以建立在材料基本力学 特性基础上的唯象方法仍然是研究材料损伤及其演 化的重要方法建立了很多损伤模型如 Loland、 Marzars 模 型［6］、周 维 垣 的 弹 脆 性 损 伤 模 型［7］、 Lematre ［8］、Brook、高路彬等人的模型［9］．唯象方法 的关键是如何实现从一维模型向三维模型的推广 各模型基于损伤由拉应变产生、压应变不产生损伤 的细观机理研究材料单元的单侧受力特性在模型 中使用一个 Heaviside 算子来屏蔽压应变对损伤的 贡献并以此建立三维各向异性损伤本构模型．研 究发现上述模型适应能力差某些情况下不能反映 三轴应力下岩石损伤．本文提出了基于双剪强度理 论的三维各向同性损伤模型计算结果与 CT 观测 第30卷 第5期 2008年 5月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．5 May2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．05．020
462 北京科技大学学报 第30卷 结果一致 合曲线O一A一B一C一M曲线，得到脆性指数n 岩石材料塑性流动的细观机理可用裂隙面的摩 擦加以解释1o.Dragon等2]研究了裂纹摩擦引 =1e (2) 起的塑性与损伤的耦合问题，但模型较复杂，本文 式中，E为无损材料的弹性模量，与此相似，根据岩 在传统塑性力学的框架内建立基于莫尔一库仑强度 石在单轴拉伸作用下的应力应变曲线可以写出拉伸 理论的弹塑性损伤模型，利用潜在滑移面上的摩擦 条件下的损伤演化公式， 特性如内聚力和摩擦因数为滑移面塑性位移的函 1.2基于双剪理论的三维损伤本构模型 数，较为简单地反映了岩石损伤影响的软一硬化 对于岩石材料而言，初始屈服标志损伤开始演 特性 化，因此用强度理论研究损伤问题是一个很好的途 径，双剪强度理论综合考虑了岩石损伤特征和静应 1损伤本构模型 力效应、正应力效应、中间主应力效应等，比其他岩 岩石单轴应力一应变曲线是岩石弹塑性损伤的 石强度理论，如莫尔一库仑理论等更能体现岩石的 全部信息的综合反应，本文假定损伤和塑性流动是 强度特征，因此在物理、材料科学、地球科学和工程 在不同的准则下发展的，因此如何从全应力一应变 中获得成功应用3].它通过一个应力状态参数，将 曲线分离纯粹的损伤演变信息是模型的关键. 应力空间划分为等效拉剪和等效压剪状态，用统一 1.1一维损伤本构关系 的材料参数判定屈服状态，很容易实现从一维损伤 材料损伤表现为力学特性上变形刚度的降低， 模型向三维损伤模型的过渡，此前，李庆斌]曾用 用唯象方法反映损伤及其演变，损伤为弹性应变的 双剪理论研究了混凝土的动、静态损伤问题，但结果 函数，文献[7]基于岩石材料的细观开裂机理给出 尚需充分验证 的弹脆性材料的单轴压缩情形下的损伤演化规律， 1.2.1双剪应变初始损伤面 形式简单，符合实际，具有很强的适应性，本文认为 根据文献[14]所述，主应变空间的双剪损伤面 弹脆性损伤模型即为岩石的纯粹损伤模型17]，据此 为：当，)ta时广义压缩， 图1所示曲线将损伤演变路径分离出来，通过量取 (1-)(1+a) 变形破坏后试件的塑性变形可得到塑性应变ξ。·一 F-{2a+)+8号 般情况下，损伤总是不彻底，即损伤终点对应的弹性 [2(+)+ 2(1+)品 应变为·从试件总应变e中减去塑性应变，便 1+a (4) 可得到损伤终点的总的弹性应变·利用式(2)拟 式中，、2、3表示主应变；a=品；品、h是材 50 料在单轴压缩和拉伸屈服时的临界应变，即损伤门 槛值，以绝对值表示；是材料泊松比；屈服面公式 右侧部分可用一个材料参数C表示.当应力状态 30 位于该面内，即当|F<|c或|F'I<|Cl时，岩石 无损伤演化：否则其内部有损伤演化，注意，公式中 的应变全部为弹性应变，随着材料的渐进损伤，损 10 伤面也会随着损伤硬化和软化而扩大或收缩，因此 材料参数C也随之增大或变小.但是，利用F或F H 0.10.2030.4D0.50.6P0.7 表示的三维应变强度跟踪材料单轴条件下的损伤演 e/% 变特性，就可以构造三维损伤模型 图1金川橄榄岩单轴压缩应力应变曲线 1.2.2双剪损伤本构模型 Fig.1 Stress"strain curve of Jinchuan olivenite under uniaxial com- 由式(1)、（③）两式构造广义拉伸条件下的损伤 pression 变量为：
结果一致． 岩石材料塑性流动的细观机理可用裂隙面的摩 擦加以解释［10］．Dragon 等［11－12］研究了裂纹摩擦引 起的塑性与损伤的耦合问题但模型较复杂．本文 在传统塑性力学的框架内建立基于莫尔－库仑强度 理论的弹塑性损伤模型利用潜在滑移面上的摩擦 特性如内聚力和摩擦因数为滑移面塑性位移的函 数较为简单地反映了岩石损伤影响的软－硬化 特性． 1 损伤本构模型 岩石单轴应力－应变曲线是岩石弹塑性损伤的 全部信息的综合反应．本文假定损伤和塑性流动是 在不同的准则下发展的因此如何从全应力－应变 曲线分离纯粹的损伤演变信息是模型的关键． 1∙1 一维损伤本构关系 材料损伤表现为力学特性上变形刚度的降低． 用唯象方法反映损伤及其演变损伤为弹性应变的 函数．文献［7］基于岩石材料的细观开裂机理给出 的弹脆性材料的单轴压缩情形下的损伤演化规律 形式简单符合实际具有很强的适应性．本文认为 弹脆性损伤模型即为岩石的纯粹损伤模型［17］据此 定义一维脆性材料损伤变量为： Ω＝（εe／εs） n （1） 图1 金川橄榄岩单轴压缩应力应变曲线 Fig．1 Stress-strain curve of Jinchuan olivenite under uniaxial compression 其中 εs 表示 Ω＝1时即材料完全损伤时的应变 量对应于图1的 D 点；εe 表示材料的弹性应变n 为材料脆性指数．对于弹塑性耦合损伤可以利用 图1所示曲线将损伤演变路径分离出来．通过量取 变形破坏后试件的塑性变形可得到塑性应变εp．一 般情况下损伤总是不彻底即损伤终点对应的弹性 应变为ε e H．从试件总应变 ε中减去塑性应变εp便 可得到损伤终点的总的弹性应变 ε e H．利用式（2）拟 合曲线 O－A－B－C－M 曲线得到脆性指数 n． σ＝ E 1－ εe εs n εe （2） 式中E 为无损材料的弹性模量．与此相似根据岩 石在单轴拉伸作用下的应力应变曲线可以写出拉伸 条件下的损伤演化公式． 1∙2 基于双剪理论的三维损伤本构模型 对于岩石材料而言初始屈服标志损伤开始演 化因此用强度理论研究损伤问题是一个很好的途 径．双剪强度理论综合考虑了岩石损伤特征和静应 力效应、正应力效应、中间主应力效应等比其他岩 石强度理论如莫尔－库仑理论等更能体现岩石的 强度特征因此在物理、材料科学、地球科学和工程 中获得成功应用［13］．它通过一个应力状态参数将 应力空间划分为等效拉剪和等效压剪状态用统一 的材料参数判定屈服状态很容易实现从一维损伤 模型向三维损伤模型的过渡．此前李庆斌［9］曾用 双剪理论研究了混凝土的动、静态损伤问题但结果 尚需充分验证． 1∙2∙1 双剪应变初始损伤面 根据文献［14］所述主应变空间的双剪损伤面 为：当ε2≤ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） 时（广义拉伸） F＝ ε1－ 1 2 （ε2＋ε3） ＋ （1－α）（1＋ν） （1＋α）（1－ν） · ε1＋ 1 2 （ε2＋ε3） ＝ 2（1＋ν）εt th 1＋α （3） 当ε2＞ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） 时（广义压缩） F′＝ 1 2 （ε1＋ε2）－ε3 ＋ （1－α）（1＋ν） （1＋α）（1－ν） · 1 2 （ε1＋ε2）＋ε3 ＝ 2（1＋ν）εt th 1＋α （4） 式中ε1、ε2、ε3 表示主应变；α＝εt th／εc th；εc th、εt th是材 料在单轴压缩和拉伸屈服时的临界应变即损伤门 槛值以绝对值表示；ν是材料泊松比；屈服面公式 右侧部分可用一个材料参数 C 表示．当应力状态 位于该面内即当｜F｜＜｜C｜或｜F′｜＜｜C｜时岩石 无损伤演化；否则其内部有损伤演化．注意公式中 的应变全部为弹性应变．随着材料的渐进损伤损 伤面也会随着损伤硬化和软化而扩大或收缩因此 材料参数 C 也随之增大或变小．但是利用 F 或 F′ 表示的三维应变强度跟踪材料单轴条件下的损伤演 变特性就可以构造三维损伤模型． 1∙2∙2 双剪损伤本构模型 由式（1）、（3）两式构造广义拉伸条件下的损伤 变量为： ·462· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第5期 王利等：基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·463 (5) g(o,up)=01-03 N (11) 这里，主应力符号压为负，且o d入根据一致性条件df=0确定，得： =)ty,且r=二2小g,代入 (1-)(1+a) 1+a 8o+号影u,-0 df-ac (15) 式(6)，得Ω= ”,由此推得损伤本构方程为： 由式(13)和(14)，可得： 3=E3(1-2) (9) 若d+影以=0 df=a。 (16) 这与文献[7]的结果完全一致， 双剪损伤模型的双轴情形公式较为复杂，可参 (17) 见文献[14]类似的验证.三轴情形一直没有得到验 do=D:(de-de)=:ds-da2g 证，本文将给出其CT实验观测的对比验证结果， 代入式(16)，得： 2基于摩擦的塑性本构模型 af:p:de ∂ dλ= (18) 岩石材料塑性表现为剪切面上的不可逆滑移. :w%-B a0 剪切面上复杂的软化、硬化特性可以很好地揭示材 代入式(17)，得增量形式的应力应变关系： 料屈服过程复杂的力学特性，本文基于莫尔一库仑 do=DPds (19) 理论，在传统塑性理论的框架内，推导出各向异性弹 D°为无损材料的弹性刚度，DP为无损材料的弹塑 塑性损伤本构关系， 性切向弹性刚度，其矩阵表示： 2.1弹塑性损伤本构模型 a013o D 取塑性屈服函数为摩尔库仑准则： DP=D- (20) f=f(o,p)=o1-3N+2cNN(10) ao D八a可 -3 其塑性势函数为可： B表示塑性硬化部分：
Ω＝ ｜F｜ Hε′s n′ （5） 式中ε′s 表示 Ω＝1时即材料拉伸完全损伤时的应 变量．由式（1）、（4）两式构造广义压缩条件下的损 伤变量为： Ω＝ ｜F′｜ H′εs n （6） 这里H＝ 2（1＋v ） 1＋α H′＝ 2α（1＋v ） 1＋α ． 各向同性的损伤本构关系表述为： εij＝ 1＋v E σij－ v E σkkδij （1－Ω） －1 （7） 1∙2∙3 应用举例 为了验证模型的正确性给出单轴拉伸和压缩 两种情形的应用． （1） 单轴拉伸情形． ε2＝ε3＝－vε1 代入式（3）在 α、v 的合理取值范围不难验证ε2≤ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） 且 F＝ 2（1＋v ） 1＋α ε1代入式 （5）得 Ω＝ ε1 ε′s n′ 由此推得损伤本构方程为： σ1＝ Eε1（1－Ω） （8） （2） 单轴压缩情形． ε1＝ε2＝－vε3 代入式（4）在 α、v 的合理取值范围不难验证ε2＞ ε1（1－αν）＋ε3（α－ν） （1－ν）（1＋α） 且 F＝ －2α（1＋v ） 1＋α ε3代入 式（6）得 Ω＝ ε3 εs n ．由此推得损伤本构方程为： σ3＝ Eε3（1－Ω） （9） 这与文献［7］的结果完全一致． 双剪损伤模型的双轴情形公式较为复杂可参 见文献［14］类似的验证．三轴情形一直没有得到验 证本文将给出其 CT 实验观测的对比验证结果． 2 基于摩擦的塑性本构模型 岩石材料塑性表现为剪切面上的不可逆滑移． 剪切面上复杂的软化、硬化特性可以很好地揭示材 料屈服过程复杂的力学特性．本文基于莫尔－库仑 理论在传统塑性理论的框架内推导出各向异性弹 塑性损伤本构关系． 2∙1 弹塑性损伤本构模型 取塑性屈服函数为摩尔－库仑准则： f＝ f （σup）＝σ1－σ3N●＋2c N● （10） 其塑性势函数为［15］： g（σup）＝σ1－σ3N● （11） 这里主应力符号压为负且 σ1＜σ2＜σ3．c 是内聚 力up 为塑性内变量表示潜在破坏面上的塑性滑 移．N●是内摩擦角●的函数： N●＝ 1＋sin● 1－sin● （12） 在考虑强化－软化特性时上述材料参数是塑 性内变量 up 的函数 c（ up）、N●（ up）其意义如图2 所示． 图2 剪切滑动应变 Fig．2 Displacement on the sliding plane up＝ε1／cosθ （13） 塑性应变增量由塑性位势理论给出： dεp＝dλ ∂g ∂σ （14） dλ根据一致性条件 d f＝0确定得： d f＝ ∂f ∂σ ∶dσ＋ ∂f ∂up d up＝0 （15） 由式（13）和（14）可得： d f＝ ∂f ∂σ ∶dσ＋ ∂f ∂up 1 cosθ ∂g ∂σ1 dλ＝0 （16） 又 dσ＝ D e∶（dε－ dεp ）＝ D e∶ dε－dλ ∂g ∂σ （17） 代入式（16）得： dλ＝ ∂f ∂σ ∶D e∶dε ∂f ∂σ ∶D e∶ ∂g ∂σ －β （18） 代入式（17）得增量形式的应力应变关系： dσ＝ D ep dε （19） D e 为无损材料的弹性刚度D ep为无损材料的弹塑 性切向弹性刚度其矩阵表示： D ep＝ D e－ D e ∂g ∂σ ∂f ∂σ T D e ∂f ∂σ T D e ∂g ∂σ －β （20） β表示塑性硬化部分： 第5期 王 利等： 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·463·
.464 北京科技大学学报 第30卷 =影a器-iw)2c(o)+ co(1-up/uo),4p≤u0 (31) 0 upug (4】品0 (21) b4puR,4p≤uR (32) 0, 损伤对材料弹塑性的影响体现在对弹性刚度的 up-uR 损伤和对加载函数、塑性势函数及软一硬化参数的 这里，表示剪切面上的塑性滑移.由于材料强度 影响，因此，有： 完全丧失，产生宏观滑动时，内摩擦因数一定增加到 D=M(O)D M(O) (22) 极限值H,因此总有“≤Q:这样，可知滑移面上 摩擦特性变化可分为三个位移区间，即[0，)、 了=f(g)1n1nN+2m 01 [uRuo)和[uo,o),如图3所示.c(p)和(p) (23) 的导数为： c'=co/ug:=o/ug (33) (11 01 (24) W4= 1+2+ (34) 11 N1+2-μ N- 2μ' 2 (35) (25) 1+2- 这里，0=牙+，其含义见图2.M(D)为损伤弹性 这里，μ=tan中. 影响矩阵，对于各向异性损伤，21、n2、g是与主应 力同轴的损伤主分量，在主应力坐标系下，有： E D=(1+u)(1-2) 1一 S (26) 「1-21 图3滑移面的变形屈服过程 M(2)= 1-22 (27) Fig.3 Deformation and yielding of the sliding plane of rock 1-03 3验证与讨论 =[M(D)] (28) N 对于岩石而言，损伤是材料破坏的诱发点，它导 将以上诸式代入式(20)，得到损伤弹塑性矩阵： 致材料滑移面上粘聚力降低以及摩擦因数增大，基 于此观点，对于岩石材料的弹塑性损伤分析，按照以 D中=D 838D 下路线进行，令？为单元完全破坏的损伤值： an ag (29) -3 (1)计算单元的损伤状态.如果0<2<2，继 续判断单元滑移面上的应力状态，如果滑移面上作 增量形式的损伤弹塑性应力应变关系为： 用压应力，采用弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 do-DdPd (30) 应变，其软，硬化特性视滑移面正应力而定：如果滑 2.2软化与硬化特性 移面上为拉应力，用损伤弹性模型，计算单元应变， 材料的抗剪切强度由内聚力和潜在滑移面上的 (2)计算单元损伤状态.如果n=,继续判 摩擦力构成、但是，由于二者不能同时达到最大，导 断单元滑移面上的应力状态，如果滑移面上作用压 致复杂的软硬化特性，根据文献[16]，材料的摩擦 应力，采用理想弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 特性有两个主要变形临界值、“0·材料粘聚强度 应变；如果滑移面上为拉应力，则单元完全破坏 c在塑性变形0~o范围内线性降低：而内摩擦因 分析实例：文献[4]曾对陕西蒲白矿物局南桥煤 数在塑性变形0一范围内增加，最大值为“，其 矿西一大巷（巷道埋深340m)的砂岩（平均容重 变化表示为： 2500kgm3,弹性模量E=57.4894MPa,泊松比
β＝ ∂f ∂up 1 cosθ ∂g ∂σ1 ＝ －σ3N′●（ up）＋2c′（ up） N●＋ c N● N′●（ up） 1 cosθ （21） 损伤对材料弹塑性的影响体现在对弹性刚度的 损伤和对加载函数、塑性势函数及软－硬化参数的 影响因此有： D ～ e＝ M（Ω） D e M（Ω） （22） f ～＝ f （σ ～ q）＝ σ1 1－Ω1 － σ3 1－Ω3 N●＋2c N● （23） g ～＝g（σ ～ q）＝ σ1 1－Ω1 － σ3 1－Ω3 N● （24） β ～＝ － σ3 1－Ω3 N′●＋2c′ N●＋ c N● N′● 1 1－Ω1 1 cosθ （25） 这里θ＝ π 4 ＋ ● 2 其含义见图2．M（Ω）为损伤弹性 影响矩阵对于各向异性损伤Ω1、Ω2、Ω3 是与主应 力同轴的损伤主分量在主应力坐标系下有： D e＝ E （1＋v ）（1－2v ） 1－v v v 1－v v S 1－v （26） M（Ω）＝ 1－Ω1 1－Ω2 1－Ω3 （27） ∂f ～ ∂σ ＝ ∂g ～ ∂σ ＝［ M（Ω）］ －1 1 0 － N● （28） 将以上诸式代入式（20）得到损伤－弹塑性矩阵： D edp＝ D ～ e－ D ～ e ∂g ～ ∂σ ∂f ～ ∂σ T D ～ e ∂f ～ ∂σ T D ～ e ∂g ～ ∂σ －β ～ （29） 增量形式的损伤－弹塑性应力－应变关系为： dσ＝ D edp dε （30） 2∙2 软化与硬化特性 材料的抗剪切强度由内聚力和潜在滑移面上的 摩擦力构成．但是由于二者不能同时达到最大导 致复杂的软硬化特性．根据文献［16］材料的摩擦 特性有两个主要变形临界值 uR、uQ．材料粘聚强度 c 在塑性变形0～ uQ 范围内线性降低；而内摩擦因 数在塑性变形0～ uR 范围内增加最大值为 μ．其 变化表示为： c＝ c0（1－ up／uQ） up≤ uQ 0 up＞ uQ （31） μ＝ μ0up／uR up≤ uR μ0 up＞ uR （32） 这里up 表示剪切面上的塑性滑移．由于材料强度 完全丧失产生宏观滑动时内摩擦因数一定增加到 极限值 μ因此总有 uR≤ uQ．这样可知滑移面上 摩擦特性变化可分为三个位移区间即 ［0uR）、 ［ uRuQ）和［ uQ∞）如图3所示．c（ up）和 μ（ up） 的导数为： c′＝c0／uQμ′＝μ0／uR （33） N●＝ 1＋μ2＋μ 1＋μ2－μ （34） N′●＝ 2μ′ 1＋μ2－μ 2 （35） 这里μ＝tan●． 图3 滑移面的变形屈服过程 Fig．3 Deformation and yielding of the sliding plane of rock 3 验证与讨论 对于岩石而言损伤是材料破坏的诱发点它导 致材料滑移面上粘聚力降低以及摩擦因数增大．基 于此观点对于岩石材料的弹塑性损伤分析按照以 下路线进行令 ΩF 为单元完全破坏的损伤值： （1） 计算单元的损伤状态．如果0＜Ω＜ΩF继 续判断单元滑移面上的应力状态如果滑移面上作 用压应力采用弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 应变其软硬化特性视滑移面正应力而定；如果滑 移面上为拉应力用损伤弹性模型计算单元应变． （2） 计算单元损伤状态．如果 Ω＝ΩF继续判 断单元滑移面上的应力状态如果滑移面上作用压 应力采用理想弹塑性损伤耦合模型计算单元塑性 应变；如果滑移面上为拉应力则单元完全破坏． 分析实例：文献［4］曾对陕西蒲白矿物局南桥煤 矿西一大巷（巷道埋深340m）的砂岩（平均容重 2500kg·m －3弹性模量 E＝57∙4894MPa泊松比 ·464· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第5期 王利等：基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 .465. =0.2),进行CT实时损伤观测，结果见表1和 1.0 2 表2. 0.8 表1南桥砂岩6°试件单轴压缩实验结果 Table 1 Test results of Nanqiao Sandstone under uniaxial compression 90.6 扫描次序 6/MPa e1/% CT数 0 0 1641.93 一计算值 0.2 +CT观测值 12.99 0.189 1645.28 9 25.37 0.440 1645.00 0.5 1.0 1.5 2.02.53.0 36.57 0.692 1623.38 e/% 39.56 0.755 1606.00 图4南桥砂岩单轴压缩损伤演化曲线 2.99 1.069 1499.40 Fig.4 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under unixaxi- 7 1.32 2.579 1362.03 al compression 表2南桥砂岩5*试件三轴压缩试验实验结果(=o=10MPa) 0.08 Table 2 Test results of Nangiao Sandstone under triaxial compression 0.07 2/ 扫描 1/ (1-2)/ 0.06 e1/% CT数 次序 MPa MPa 90.05 0.04 一计算值 1 11.88 1.88 0.06 1607.6 +CT观测值 2 22.63 12.63 0.25 1610.5 0.02 3 35.92 25.92 0.50 1612.1 0.01 45.66 35.66 0.69 1612.1 02 0.40.60.81.01.21.4 48.85 38.85 0.76 1611.2 e/% 6 49.47 39.47 0.79 1607.5 51.71 41.71 0.85 1603.5 图5南桥砂岩三轴压缩损伤演化曲线 Fig.5 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under triaxial 8 40.79 30.79 1.16 1589.1 compression 根据损伤演化CT数变化，定义损伤变量为： 45 D=8 1000+Hm 1-1000+&.Hmg (36) 30 式中，m0=0.35为CT机空间分辨率，&、&。分别为 一计算值 +CT观测值 初始损伤影响因子和闭合影响系数.Hmo、Hm分 别为试件初始和任一应力状态的CT数， 15 实验过程的CT数变化表中给出，c=1.05, &.=1645.28/1641.93=1.002.本文利用相同数 。 0.51.01.52.02.53.0 据，损伤模型计算参数a=0.65,c,=0.85,n=8,计 E,/% 算相同荷载下的损伤值，两种方法计算的损伤值对 比见图4和图5所示.曲线1为弹性应变表示的损 图6南桥砂岩单轴压缩应力应变曲线 伤演化，它对应于由弹性应变引起的纯粹损伤的情 Fig.6 Stress"strain curve of Nangiao Sandstone under uniaxial com pression 形，实际上，材料在损伤到某一极限值后，总伴有塑 性位移发生，这样实际观测到的损伤演变路径为曲 有岩石都出现应力跌落，其幅度视岩石强弱和围压 线2，但材料仍为弹性损伤律 大小而定，大量岩石实验已经反映了这样的事实 从图6和图7看出，塑性位移均开始出现于靠 岩石内宏观裂纹出现为塑性摩擦提供了条件，这可 近峰值后的某个位移点上，这是由于在峰值强度前， 以理解为，在峰值后区，由于损伤影响使材料刚度降 岩石内微裂隙损伤没有贯通为宏观大裂纹，当外加 低，结构柔性增加，微裂隙以及已经贯通的宏观裂隙 荷载达到峰值强度时，宏观大裂纹出现，此时几乎所 之间产生相对滑动.这种相对滑动对应于断裂力学
ν＝0∙2）进行 CT 实时损伤观测结果见表1和 表2． 表1 南桥砂岩6＃试件单轴压缩实验结果 Table1 Test results of Nanqiao Sandstone under uniaxial compression 扫描次序 σ1／MPa ε1／％ CT 数 1 0 0 1641∙93 2 12∙99 0∙189 1645∙28 3 25∙37 0∙440 1645∙00 4 36∙57 0∙692 1623∙38 5 39∙56 0∙755 1606∙00 6 2∙99 1∙069 1499∙40 7 1∙32 2∙579 1362∙03 表2 南桥砂岩5＃试件三轴压缩试验实验结果（σ2＝σ3＝10MPa） Table2 Test results of Nanqiao Sandstone under triaxial compression 扫描 次序 σ1／ MPa （σ1－σ2）／ MPa ε1／％ CT 数 1 11∙88 1∙88 0∙06 1607∙6 2 22∙63 12∙63 0∙25 1610∙5 3 35∙92 25∙92 0∙50 1612∙1 4 45∙66 35∙66 0∙69 1612∙1 5 48∙85 38∙85 0∙76 1611∙2 6 49∙47 39∙47 0∙79 1607∙5 7 51∙71 41∙71 0∙85 1603∙5 8 40∙79 30∙79 1∙16 1589∙1 根据损伤演化 CT 数变化定义损伤变量为［4］： D＝ αe m 2 0 1－ 1000＋ Hrm 1000＋αc Hrm0 （36） 式中m0＝0∙35为 CT 机空间分辨率αe、αc 分别为 初始损伤影响因子和闭合影响系数．Hrm0、Hrm 分 别为试件初始和任一应力状态的 CT 数． 实验过程的 CT 数变化表中给出αe＝1∙05 αc＝1645∙28／1641∙93＝1∙002．本文利用相同数 据损伤模型计算参数 α＝0∙65εs＝0∙85n＝8计 算相同荷载下的损伤值两种方法计算的损伤值对 比见图4和图5所示．曲线1为弹性应变表示的损 伤演化它对应于由弹性应变引起的纯粹损伤的情 形．实际上材料在损伤到某一极限值后总伴有塑 性位移发生这样实际观测到的损伤演变路径为曲 线2但材料仍为弹性损伤律． 从图6和图7看出塑性位移均开始出现于靠 近峰值后的某个位移点上这是由于在峰值强度前 岩石内微裂隙损伤没有贯通为宏观大裂纹．当外加 荷载达到峰值强度时宏观大裂纹出现此时几乎所 图4 南桥砂岩单轴压缩损伤演化曲线 Fig．4 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under unixaxial compression 图5 南桥砂岩三轴压缩损伤演化曲线 Fig．5 Damage evolution curve of Nanqiao Sandstone under triaxial compression 图6 南桥砂岩单轴压缩应力－应变曲线 Fig．6 Stress-strain curve of Nanqiao Sandstone under uniaxial compression 有岩石都出现应力跌落其幅度视岩石强弱和围压 大小而定．大量岩石实验已经反映了这样的事实． 岩石内宏观裂纹出现为塑性摩擦提供了条件．这可 以理解为在峰值后区由于损伤影响使材料刚度降 低结构柔性增加微裂隙以及已经贯通的宏观裂隙 之间产生相对滑动．这种相对滑动对应于断裂力学 第5期 王 利等： 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·465·
,466 北京科技大学学报 第30卷 60 差的材料，峰值前会发生很大的塑性位移，这种岩石 50 的脆性特征很不明显，通常可以做出完整的应力 应变曲线，材料屈服后所表现的复杂的软硬化特 性，是由其粘聚力的损伤程度与滑移面的摩擦特性 30 共同决定，这通常与加载方式和材料性质有关，如 20 一计算值 +CT观测值 图9和图10所示 10 60 06 50 0.20.40.60.81.0121.4 E/% 40 图7南桥砂岩三轴压缩应力一应变曲线 30 Co-25 MPa co=20 MPa Co=15 MPa Fig-7 Stress strain curve of Nangiao Sandstone under triaxial com- 20 pression 一计算值 10 +CT观测值 的Ⅱ型裂纹断裂模型，通过裂纹面的相对滑动在裂 尖产生翘变拉应力致使裂纹扩展，因此峰值后区的 06051.0152.02.53.0354.04.5 E/% 损伤必然伴随塑性位移，但是其损伤机制仍然是间 接的拉应变所致、在单轴作用下，最易开裂、扩展、 图9不同塑性参数条件下南桥砂岩压缩应力应变曲线 Fig.9 Stress'strain curve of Nanqiao Sandstones at different plastic 贯通的是大尺寸的裂纹，因此损伤演化表现出强烈 parameters 的局部化特征，这使得潜在滑移面上的损伤得以充 分发展，结构破坏脆性特征明显，而在围压作用下， 60 大的裂隙扩展受到抑制，却给更小级别的裂隙提供 50 了充分发育的条件，因此围压下的损伤较单轴时的 40 损伤发育更为均匀，材料趋于整体性大变形破坏，结 30 g0.1hg-0.25 4g=0.4 构破坏表现出延性特征，从损伤数值显示，单轴破 40=0.5 坏时损伤值较多轴时大，这也说明结构破坏不仅由 20 一计算值 损伤大小决定，还与其分布有关，围压起到使材料 10* +CT观测值 损伤分布均匀，抑制局部化损伤发展的作用，因为材 o 0.51.01.52.02.53.0 料最终破坏总是局部发生的，所以围压作用提高了 E/% 材料强度，并且对材料的力学性能起到由脆性向延 图10不同粘聚力条件下南桥砂岩压缩应力小一应变曲线 性的改变，如图8所示.这一点也可以从CT损伤观 Fig-10 Stress strain curve of Nanqiao Sandstones with different co- 测的图像鬥得以证实.塑性计算结果表明，粘聚力 hesions 决定了材料峰值前塑性大小，对于一些粘聚强度较 60 取塑性参数=0.66，R=0.01,u0=0.5, 15 MPa 50 co=25MPa,1=22=2g可以很好地拟合单轴和 40 三轴作用下的应力一应变曲线(o2=3=10MPa), 10 MPa 并可对不同围压下的应力应变曲线进行了推测 30 02=03=5 MPa 4结论 一计算值 +CT观测值 (1)损伤和塑性采用不同的发生准则，这符合 岩石裂隙发生及摩擦滑动的实验事实， 0 0.20.40.60.81.01.21.4 E,% (②)损伤计算与观测结果取得了很好的一致 性，说明定义在弹性应变及双剪强度理论基础上的 图8不同围压下南桥砂岩压缩应应变曲线 损伤变量及其演化方程可以反映岩石材料损伤演化 Fig.8 Stress"strain curve of Nangiao Sandstone under different sur rounding compressions 的主要特征， (3)硬化一软化模型可以反映岩石屈服后的应
图7 南桥砂岩三轴压缩应力－应变曲线 Fig．7 Stress-strain curve of Nanqiao Sandstone under triaxial compression 的Ⅱ型裂纹断裂模型通过裂纹面的相对滑动在裂 尖产生翘变拉应力致使裂纹扩展因此峰值后区的 损伤必然伴随塑性位移但是其损伤机制仍然是间 接的拉应变所致．在单轴作用下最易开裂、扩展、 贯通的是大尺寸的裂纹因此损伤演化表现出强烈 的局部化特征这使得潜在滑移面上的损伤得以充 分发展结构破坏脆性特征明显．而在围压作用下 大的裂隙扩展受到抑制却给更小级别的裂隙提供 了充分发育的条件因此围压下的损伤较单轴时的 损伤发育更为均匀材料趋于整体性大变形破坏结 构破坏表现出延性特征．从损伤数值显示单轴破 坏时损伤值较多轴时大这也说明结构破坏不仅由 损伤大小决定还与其分布有关．围压起到使材料 损伤分布均匀抑制局部化损伤发展的作用因为材 料最终破坏总是局部发生的所以围压作用提高了 材料强度并且对材料的力学性能起到由脆性向延 性的改变如图8所示．这一点也可以从CT 损伤观 图8 不同围压下南桥砂岩压缩应力－应变曲线 Fig．8 Stress-strain curve of Nanqiao Sandstone under different surrounding compressions 测的图像［4］得以证实．塑性计算结果表明粘聚力 决定了材料峰值前塑性大小．对于一些粘聚强度较 差的材料峰值前会发生很大的塑性位移这种岩石 的脆性特征很不明显通常可以做出完整的应力－ 应变曲线．材料屈服后所表现的复杂的软硬化特 性是由其粘聚力的损伤程度与滑移面的摩擦特性 共同决定这通常与加载方式和材料性质有关如 图9和图10所示． 图9 不同塑性参数条件下南桥砂岩压缩应力－应变曲线 Fig．9 Stress-strain curve of Nanqiao Sandstones at different plastic parameters 图10 不同粘聚力条件下南桥砂岩压缩应力－应变曲线 Fig．10 Stress-strain curve of Nanqiao Sandstones with different cohesions 取塑性参数 μ＝0∙66uR ＝0∙01uQ ＝0∙5 c0＝25MPaΩ1＝Ω2＝Ω3 可以很好地拟合单轴和 三轴作用下的应力－应变曲线（σ2＝σ3＝10MPa） 并可对不同围压下的应力－应变曲线进行了推测． 4 结论 （1） 损伤和塑性采用不同的发生准则这符合 岩石裂隙发生及摩擦滑动的实验事实． （2） 损伤计算与观测结果取得了很好的一致 性说明定义在弹性应变及双剪强度理论基础上的 损伤变量及其演化方程可以反映岩石材料损伤演化 的主要特征． （3） 硬化－软化模型可以反映岩石屈服后的应 ·466· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第5期 王利等：基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 .467. 力一应变曲线特征，因此用潜在滑移面上的塑性位 tutive model of rock and its application in engineering.Chin J 移作软硬化变量是可行的， Geotech Eng.1998.20(5):54 (周维垣，划公瑞，杨若琼.岩体弹脆性损伤本构模型及工程应 (4)模型简单，概念清晰，无需任何假设，只需 用.岩土工程学报，1998,20(5)：54) 岩石单轴应力一应变曲线及剪切位移曲线，编程计 [8]Lemaitre J.Introduction to Continuum Damage Mechanics-El- 算方便，同时需要说明，本文的损伤模型只适用于 sevier Science Ltd.2002:235 各向同性损伤，在实际的各向异性损伤分析计算时， [9]Li Q B.Static,dynamie damage constitutive theory of concrete- 选用文献[7]所建立的各向异性损伤模型比较方便， J Hydraul Eng.1995(2):27 (李庆彬.混凝土静，动力双剪损伤本构理论.水利学报，1995 参考文献 (2):27) [10]Chen Y.Rock Properties of the Earth's Crust.Beijing:Seism [1]Xu J.Li H.Xian X F.Experimental research on the whole Press,1988 course of micro fracture developing in sandstone under uniaxial (陈隅.地壳岩石的力学性能.北京：地震出版社，1988.) compression.Mech Eng.1986.8(4):16 [11]Basista M,Gross D.The sliding crack model of brittle deforma- (许江，李贺，鲜学福·对单轴应力状态下砂岩微观断裂发展全 过程的实验研究，力学与实践，1986,8(4)：16) tion:an internal variable approach.Int I Solids Struct,1998. 35(5/6):487 [2]Zhao Y H,Huang JF,Wang R.Study of instantaneous observa- tion of microcracks developing in SEM.Chin J Rock Mech Eng. [12]Dragon A.Halm D.Desoyer T.Anisotropic damage in quasi- brittle solids:modeling.computational issues and applications 1992,11(3):284 Comput Methods Appl Mech Eng.2000.183 (3/4):331 (赵永红，黄杰藩，王仁，岩石微破裂发育的扫描电镜即时观测 [13]Yu M H.Yoshimine M.Qiang H F,et al.Advances and 研究.岩石力学与工程学报，1992,11(3)：284) [3]Li L.Xu Y,Li Q G.et al.Microcosmic research on gradual prospects for strength theory.Eng Mech.2004:21(6):2 (俞宏茂，Yoshimine M,强洪夫，等.强度理论的发展和展望. fracturing of granite.Chin J Rock Mech Eng.2002.21(7):940 工程力学，2004,21(6).2) (李炼，徐钺，李启光，等。花岗岩渐进破坏的微观研究·岩石 [14]Yu M H.Twin Shear Theory and Its Applications.Beijing: 力学与工程学报，2002,21(7)：940) Science Press,1988 [4]Ge X R.Ren JX.Fu Y B.et al.Macro-mesoscopic Experimen- (俞宏茂.双剪理论及其应用.北京：科学出版社，1998) tal Research on Rock Damage Mechanics.Beijing:Science Press, [15]Liu B.Han Y H.Guide to Principle,Examples and Applica- 2004.153 tions of FLAC.Beijing:China Communications Press,2005:18 (葛修润，任建喜，蒲毅彬，等.岩土损伤力学宏细观实验研 (刘波，韩彦辉.FLAC原理、实例与应用指南.北京：人民交 究-北京：科学出版社，2004：153) 通出版社，2005：18) [5]Yu Sh W.Feng X Q.Damage Mechanics.Beijing:Tsinghua U- niversity Press.1997:78 [16]You M Q.Strength and Deformation Course of Rock Samples. Beijing:Geology Press,2000:128 (余寿文，冯西桥.损伤力学。北京：清华大学出版社，1997 (尤明庆，岩石试样的强度及其变形破坏过程，北京：地质出 78) 版社，2000：128) [6]YuT Q,Qian JCh.Damage Theory and Its Application.Bei- [17]Wang L.Elasto-Plastic Damage Model and Its Applications jing:Science Press.1993:1 [Dissertation ]Beijing:University of Science and Technology (于天庆，钱济成，损伤理论及其应用·北京：科学出版社， 1993:1) Beijing.2007 (王利·岩石弹塑性损伤模型及其应用研究[学位论文]，北 [7]Zhou W Y.Shan G R.Yang R Q.Elasto-brittle damage consti- 京：北京科技大学2007.)
力－应变曲线特征因此用潜在滑移面上的塑性位 移作软硬化变量是可行的． （4） 模型简单概念清晰无需任何假设只需 岩石单轴应力－应变曲线及剪切位移曲线编程计 算方便．同时需要说明本文的损伤模型只适用于 各向同性损伤在实际的各向异性损伤分析计算时 选用文献［7］所建立的各向异性损伤模型比较方便． 参 考 文 献 ［1］ Xu JLi HXian X F．Experimental research on the whole course of micro-fracture developing in sandstone under uniaxial compression．Mech Eng19868（4）：16 （许江李贺鲜学福．对单轴应力状态下砂岩微观断裂发展全 过程的实验研究．力学与实践19868（4）：16） ［2］ Zhao Y HHuang J FWang R．Study of instantaneous observation of microcracks developing in SEM．Chin J Rock Mech Eng 199211（3）：284 （赵永红黄杰藩王仁．岩石微破裂发育的扫描电镜即时观测 研究．岩石力学与工程学报199211（3）：284） ［3］ Li LXu YLi Q Get al．Microcosmic research on gradual fracturing of granite．Chin J Rock Mech Eng200221（7）：940 （李炼徐钺李启光等．花岗岩渐进破坏的微观研究．岩石 力学与工程学报200221（7）：940） ［4］ Ge X RRen J XFu Y Bet al．Macro-mesoscopic Experimental Research on Rock Damage Mechanics．Beijing：Science Press 2004：153 （葛修润任建喜蒲毅彬等．岩土损伤力学宏细观实验研 究．北京：科学出版社2004：153） ［5］ Yu Sh WFeng X Q．Damage Mechanics．Beijing：Tsinghua University Press1997：78 （余寿文冯西桥．损伤力学．北京：清华大学出版社1997． 78） ［6］ Yu T QQian J Ch．Damage Theory and Its Application．Beijing：Science Press1993：1 （于天庆钱济成．损伤理论及其应用．北京：科学出版社 1993：1） ［7］ Zhou W YShan G RYang R Q．Elasto-brittle damage constitutive model of rock and its application in engineering．Chin J Geotech Eng199820（5）：54 （周维垣剡公瑞杨若琼．岩体弹脆性损伤本构模型及工程应 用．岩土工程学报199820（5） ：54） ［8］ Lemaitre J．Introduction to Continuum Damage Mechanics．Elsevier Science Ltd2002：235 ［9］ Li Q B．Staticdynamic damage constitutive theory of concrete． J Hydraul Eng1995（2）：27 （李庆彬．混凝土静、动力双剪损伤本构理论．水利学报1995 （2） ：27） ［10］ Chen Y．Rock Properties of the Earth’s Crust．Beijing：Seism Press1988 （陈隅．地壳岩石的力学性能．北京：地震出版社1988．） ［11］ Basista MGross D．The sliding crack model of brittle deformation：an internal variable approach．Int J Solids Struct1998 35（5／6）：487 ［12］ Dragon AHalm DDesoyer T．Anisotropic damage in quas-i brittle solids：modelingcomputational issues and applications． Comput Methods Appl Mech Eng2000183（3／4）：331 ［13］ Yu M HYoshimine MQiang H Fet al．Advances and prospects for strength theory．Eng Mech2004：21（6）：2 （俞宏茂Yoshimine M强洪夫等．强度理论的发展和展望． 工程力学200421（6）：2） ［14］ Yu M H．T win Shear Theory and Its Applications．Beijing： Science Press1988 （俞宏茂．双剪理论及其应用．北京：科学出版社1998） ［15］ Liu BHan Y H．Guide to PrincipleExamples and Applications of FL AC．Beijing：China Communications Press2005：18 （刘波韩彦辉．FLAC 原理、实例与应用指南．北京：人民交 通出版社2005：18） ［16］ You M Q．Strength and Deformation Course of Rock Samples． Beijing：Geology Press2000：128 （尤明庆．岩石试样的强度及其变形破坏过程．北京：地质出 版社2000：128） ［17］ Wang L． Elasto-Plastic Damage Model and Its Applications ［Dissertation ］．Beijing：University of Science and Technology Beijing2007 （王 利 ．岩石弹塑性损伤模型及其应用研究［学位论文］．北 京：北京科技大学2007．） 第5期 王 利等： 基于强度理论的岩石损伤弹塑性模型 ·467·
