广义预测自校正控制器的内模结构及全局收敛性

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1994.01.015 第16卷第1期 北京科技大学学报 Vol.16 No.1 1994年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Fb.1994 广义预测自校正控制器的内模 结构及全局收敛性 石中锁 舒迪前 北京科技大学自动化系，北京100083 摘要给出了基于CARIMA模型的广义预测控制器的内模结构，分析了其闭环特性和鲁棒性，并 证明了显式自校正算法的全局收敛性， 关键词控制/自校正控制，预测控制，内模控制，显式算法，全局收敛性 中图分类号TP273.2 The IMC Structure of Generalized Predictive Self-Tuning Controller and Its Globally Convergence Shi Zhongsuo Shu Diqian Department of Automation,USTB,Beijing 100083,PRC ABSTRACT In this paper,the internal control structure of indirect self-tuning generalized predictive controller based on a Controlled Autoregressive Integrating Moving Average (CARIMA)model is presented.The closed loop dynamical behavior and robustness are ana- lysed.The global convergence of this algorithm has also been given.The simulation example demonstrates the effectiveness of the algorithm proposed. KEY WORDS control/self -tuning control,predictive control,internal control,indirect algorithm,global convergence 基于参数模型的广义预测控制是80年代后期兴起的一种新型预测控制算法.目前，一 些改进型算法不断出现，但理论研究还比较薄弱.本文采用内模结构来分析广义预测控制的 闭环特性及鲁棒性，并研究了自适应算法的全局收敛性， 1控制算法 1.1多步输出预测 199-04-28收稿第一作者男28岁讲师硕士

第 16 卷 第 1 期 1 9 94 年 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Jo um a l o f U n i evrs iyt o f S a e n ec a nd T eC h n o lo gy eB ij in g V o l 。 1 6 N O 。 l f功 . 19 9 4 广义 预测 自校正控 制器 的 内模 结构及 全局 收敛性 石 中锁 舒迪 前 北京科技大学 自动化系 , 北京 1以l 犯3 摘要 给 出 了基 于 C A] 叮M A 模 型 的广义 预测控制器 的 内模结构 , 证明 了显式 自校正算法的全局 收敛性 . 关键词 控制 / 自校正控制 , 预测控制 , 内模控制 , 显式算 法 , 中图 分类号 T P 27 3 . 2 分析了其 闭环特性 和鲁棒性 , 并 全局收敛性 T h e I M C S t r u c t UrL’e o f C记ne ar lize d P r e d itC ive S e lf 一 几面gn C o nt or l e r a dn I ts lG o b a lly C o vne gr e cne hS i Z h o n gS “ o l 沈 P a rt n 犯 n t o f A u t o f 坦t l o n hS u D i q i a n U S T B , 氏ij in g l (兀旧83 , P R C A B S T R A C T I n t h is P a P e r , t h e i n t e nr a l co n t or l s utr ct u er o f i n d i er ct s e if 一 ut n i n g g en e ar il 戏沮 P r e d i e t i v e co n t r o l e r b as e d o n a C o n t or l e d A u t o r e g r e s s ive nI et g r a t i n g M o v ing A v e ar g e (C A R IM )A mo d el is P心en 回 . hT e d o s ed l o o P d y n a 而ca l be h a v i o r a n d or b us t n es s a er a n a - lys ed . hT e gl o b a l co n v e gr en ce o f t h is a lg o ir t h m h as a ls o h 泥 11 g i ven . T七e s im ul a tio n ex a m P le d e r n o 招atr est t h e e 伟戈t i v en es o f t h e a l g o ir ht m P or P o s ed . K E Y W O R D S co n tDI I / 义甘 一 t un i n g co n t or l , P耐ict ive co n itD I , i n t e nr a l co n otr l , I n d i er Ct a 坛o ir t h m , gl o b al co n ve gr en 二 基 于参数模型 的广义 预测 控制 是 80 年 代后 期兴 起 的 一 种新 型 预 测 控 制算 法 . 目前 , 一 些改 进型算 法不 断 出现 , 但理 论研 究还 比较 薄弱 . 本 文采 用 内模 结 构来分 析 广义 预测控 制 的 闭环 特性及 鲁棒 性 , 并研 究 了 自适 应算 法 的全局 收敛 性 . 1 控制算法 1 . 1 多步输出预测 1卯3 一 俱 一 28 收稿 第一作者 男 28 岁 讲 师 硕 士 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1994. 01. 015

.68. 北京科技大学学报 1994年No.1 CARIMA模型如下 A(2)y(k)=B()u(k-1)+C()5(k)/A (1) 或 A(2)y(k)=B(z)△u(k-1)+C(z5(k) (2) 式中： 4e)=1+空a， B(e)=26,2 -0 cey=1+2c,, A(a)=A(z)△ - △=1-z1 引入Diophantine方程 C()=A(z)E()+zF) (3) 其中， degE,()=j-1, deg F (z)=n (3)式代入(2)式可得系统的j步输出预测 (+i)=5) )=C号y+BC》Auk+5-)+E,e)k+D (4) 为了进一步把多步预测中的[B(e)E,(:)/C(e)]△4(k+j-1)分解为已知和未来两部 分，再引入Diophantine方程： G,e)/Ce)=G(:)+z[E(z)/C(e)] (5) 其中 deg G,()=n +j-1,deg G,()=j-1 dgFe)=n.-1,G,(e)=B(2)E,(e) (5)式代入(4)式整理得 ,F) 0=yW+:9△uk+打-)+C号Auk-)+Ee5W 上式多步输出预测是根据系统真实模型参数推导出来的，而系统真实参数往往不知道， 实际控制器的设计是对某一理论模型，由于系统真实模型参数与理论模型参数（估计模型 参数)不完全匹配，存在模型误差，因此用理论模型（估计模型）计算出的多步输出预测为 (k+)=E)、 k+Ge)△u(k+j-1)+ F(e) △wk-1)+E(e)(k+) (6) Ce) C( 上式与系统真实模型输出预测y(k+j)差一个模型预测误差，利用k时刻已知的模型输出误 差(k)=y(k)-(k)来修正，于是经修正后的多步输出预测为： k+》=EeW+eAu+-+ F() △u(k-1)+E,(2)(k+j》+h,e(k) Ce C(:) 或： y(k+)=E) )+G,e)△uk+j-)+ F(e) △u(k-1) C(-) C() Fe) +E,(e)(k+i)+he(k)- 2e(k) C(: (7)

北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 4 年 N 6 . 1 C A R IM A 模型 如下 或 A ( z 一 ’ ) 夕伪) = B (z 一 ’ ) u ( k 一 l ) + C 今 一 ’ ) C( k ) / △ 万 ( z 一 ’ )夕 ( 人) = 刀 ( z 一 ’ ) △ u (丸一 l ) + C ( z 一 ’ ) C( k ) ( l ) ( 2 ) 式 中: A (z 一 ’ ) = 1 + 口 1 2 B ( z 一 ’ c (z 一 1 ) 一 1 + 全 。 。 : 一 万 ( : 一 ’ 一 全 。 ` : 一 ) 二 A (z 一 ’ ) △ 令白间 引人 D i o p h a n it ne △= 1 一 z 一 1 方 程 C (z 一 ’ ) = A ( z 一 ’ ) jE 少 一 ’ ) + : 一 ,jF 仓 一 ’ ) d ge 乓今 一 今一 j一 1 , d eg rj (z 一 ’ ) 一 na 式可 得 系统 的j 步 输 出预测 ( 3 ) 其 中 , ( 3 ) 式代 人 ( 2 ) y (k + j ) = 兀(z 一 ’ ) C (z 一 ’ ) y ( k ) + B 仓 一 ’ )乓(z 一 ’ ) C (z 一 ’ ) △u (k + j 一 l ) + jE O 一 ’ ) 心( k + j ) ( 4 ) 为 了进 一步 把 多 步 预 测 中 的 B[ 仕 一 ’ ) 乓( z 一 ’ ) / c 仓 一 ’ ) ]△“ (k + j 一 l) 分解 为已 知 和未 来 两 部 分 , 再引 人 D i o p h a n t in e 方程 : ( 5 ) 其中 乓(z 一 ’ ) C/ 仕 一 ’卜 乓( : d eg q (z 一 ’ ) 二 n 。 +j 一 l d铭 兀仕 一 ’ ) = n : 一 , 式 整理 得 + “ 一 , [兀 ( z 一 ’ ) / C (z 一 ’ ) ] d ge q ( : 一 ’ ) =j 一 l 乓仓 一 ’ =) B (z 一 ’ ) E , 仓 一 ’ ) ( 5 ) 式 代人 ( 4 ) 夕( k + j ) = 兀 (z 一 ’ ) C 仓 一 ’ 二 . 、 厂 ` (z 一 ’ ) 夕 ( k ) + 乓( z 一 ’ ) △ u k( + j 一 l ) + 下开二下 一 △u ( k 一 l ) + E , (z 一 ’ ) 否( k + j ) 、 ` 护 , 上 式 多步 输 出预测 是根 据 系统真 实模 型参 数推 导 出来 的 , 而 系 统 真 实参数 往 往 不 知 道 , 实 际控 制 器 的设计是 对某 一理论 模 型 . 由于系 统真 实模 型参数 与理 论模 型 参数 (估 计 模 型 参 数 ) 不 完全 匹 配 , 存在模型误 差 , 因此 用理 论模 型 (估计模 型 ) 计算 出的多步 输 出预测 为 、 ( 、 + j ) 一 竺卫 、 (、 ) 十 氛。 一) △· (、 + z 一 1) + C ( : 一 ’ ) jF ( : 一 ’ ) 自 : 一 ’ ) △ u (k 一 ’ ) + 乓(z 一 , ) `(k + j ) ( “ ) 上式 与 系 统真实模 型输 出预测 夕 ( k +j ) 差一 个模 型预 测误差 , 利用 k 时 刻 已 知 的模 型输 出误 差 。 ( k) = y ( k) 一 夕(k ) 来 修 正 , 于是 经修 正后 的多 步输 出预测 为 : 夕( 、 + j ) 一 三空卫 夕( 、 ) C ( : A u ( k 一 ’ ) + 乓( z 一 ’ ) ` ( k + j ) + 气 e ( “ ) A u ( k 一 l ) Z一t` 一八 F J 一 凡 C 奴、 、 , )一 华C ( z 入 二 . 双 ( z + G, ( z 一 ` ) △ “ ( k + j 一 l ) + 二…二 C ( z l \ 乡(k ) + 民( 艺一 ’ )△ u ( k + j 一 , ) + + jE ( “ 一 ’ ) 心( k + j ) + 气 e ( k ) - — e (k ) C ( : 一 ` ) ( 7 )

Vol.16 No.I 石中锁等：广义预测自校正控制器的内模结构及全局收敛性 69. L.2 Diophantine方程递推求解 当预测长度j不同时，多步输出预测(7)式中的月、E、G,、方需要按Diophantine方程 重新计算，为了节省计算时间，下面给出E、E、G,和万的递推求解公式： =j元。j+,=元.+1-a5 i=0,1,…,na-1 t-a5S=ja+b斯 G1=G,+921 71=j+b)-yc1 i=0.1,,n-1 初值 官=zC(z)-Ae] 月=z[8-6ce1,G=b。 证明见文献[1】. 1.3最优控制律 取预测时域长度为P,控制时域长度为M,且假设△u(k+j-1)=0,当j>M,则(7)式 写成向量矩阵形式 Y(k+1)=G'AU(k)+FAU(k-1)+F2y(k)+(H-F2)e(k)+E (8) 其中， [喜][] H=[h,h,…,h,]T,Y=(k+I)=【yk+1),yk+2),…,yk+p)]T △U(k)=[△u(k)△uk+1),…,△u(k+M-1]',E=[E,(k+1),E25(k+2),…,E25k+p)]7 b 0 bo G'= 9M.M-1…bo 取含有输出误差和控制增量加权的二次型性能指标： J=E含vk+》-%k+i户+宫2ak+- (9) 式中y,k+)为参考轨迹，按下式计算 「，(k+j)=xy,(k+j-1)+(I-a)w) y,(k)=y(k) (10) (9)式写成向量矩阵形式： J=E{[Y(k+1)-Y,(k+I)]'[Y(k+1)-Y,k+I)]+1△U'k)△Uk)}

V6 1 . 16 N O . 石 中锁等: 广义预 测 自校 正 控制器的内模 结构及全局 收敛性 . 2 肠o hP a n 七祝 方程 递推求解 当预 测长度 j 不 同 时 , 多步 输 出 预 测 ( 7) 式 中的 jr 、 乓 、 G , 、 月需要 按 D i o p ha n t ien 方程 重 新计算 , 为 了节 省计 算 时间 , 下面 给 出 式 、 乓 、 云 , 和月的递推求解公 式 : 0 , l , … , n a 犷勺 一 l + 一ǎa jr = 无 . 。 无 + l , 。 二 天 、 `+ 1 二 二 天 、 1 , 。 。 - 瓦 。 十 l rj 乓一 石 , 。 + b 。 rj Gj + 1 = G , + 乓z 一 , 兄 十 l , , 一 兄 , ` + , + 乙 ` 十 l rj 一 sj 艺 ` 十 1 = 0 , l , … , n e 一 l 初 值 八 八 二 石 = : lC ( z 一 ’ ) 一 A (Z 一 ’ ) ] 乙 = z 【B 一 b o C (z 一 , )】 , G l = b0 证明见 文献 【l] . 3 最优控制律 取 预 测 时域 长度 为 P, 控制 时域 长度 为 M , 且 假设 △u (k + j 一 l) 二 O , 当 j > M , 则 ( 7) 式 写成 向量 矩 阵形式 Y (k + l ) = G ’ A U ( k ) + 兀A U (k 一 l ) + 凡夕(k ) + (H 一 凡 ) e (k ) + E ( 8 ) 门les J 汽. 二 、C 其 中 , _ 「 云 只 元〕 户 2 :I 二牛 , 二牛 , “ ’ , 一子 } L C C C 」 H = [ h , , h Z , … , h ; ] T , Y= (k + l ) = [夕(k + l ) , 夕( k + 2 ) , … , 夕(k + )P ] T △u 伍) 一 [△ u ( 、 ) , △ u ( 、 + l ) , … , △u ( 、 + M 一 l ) ] T , : 一 [云 1 `伏+ l ) , 瓦`伍+ 2 ) , … , 瓦`( 、 + p ) ] G / 二 p 一 1 - 一 马 , , 一 M 级ǎ人叭二: 。 g esres ese we l l l ` l l esL 取含有 输 出误差 和控 制增量 加权 的二 次 型性 能指标 : 、少、 、夕. 犷 90 星了 、,几. 吸了. 几 艺 [ y (、 + j ) 一 共 (k + j ) ] ’ + 艺、 [△“ (k + j 一 l ) ] ’ 、、r, t ó J 一 E 式 中 y r (k +j ) 为参考 轨迹 , 按下 式计 算 { y , (k + j ) = : y r (k + j 一 l ) + ( ] 一 “ ) w (k ) y , ( k ) = y ( k ) (9 ) 式写成 向量 矩 阵形式 : J 一 E { [ Y ( k + l ) 一 Yr ( k + l ) ] T [ Y ( k + l ) 一 Yr (k + l ) 1 + ` △u (kT ) △u (k ) }

.70 北京科技大学学报 1994年No.1 其中 Yk+1)=[y,k+1),y,(k+2),…,y,(k+P)] (8)式代人上式得 J=E{[G'△Uk)+F△u(k-I)+F2yk)+(H-F)k)+E-Y,k+I)]'[G△U(k) +F,△u(k-1)+Fy(k)+(H-F)k)+E-Y,k+1)]+1△UT(k)△U(k)} (11) OJ 令aAU内=0，整理化简可得 △U()=(G"G+1I)-'GT[Y,(k+1)-F,△u(k-1)-Fy(k)-(H-F2e(k)] 采取只执行当前时刻的控制量，k+1及其以后时刻的控制量重新计算的闭环控制策略。 记(GTG'+I)-GT的首行为dT,则上式取首行得 Au(k)=dT [Y,(k+1)-F Au(k-1)-F2y(k)-(H-F2)e(k)] (12) 当过程参数未知或缓慢变化时，首先估计模型参数，用估计参数取代真实参数求解 Diophantine方程，用求得的参数代入(l2)式求取控制律即构成自校正控制系统. 2系统的内模结构 (12)式很容易写成下面的形式 △u(k)=dr[Y,(k+1)-F△u(k-1)-F少()-He(k)] 即： Au(k)=dT [Y,(k+1)-FAu (k-1)-F2G(=)u (k)-He(k)] [A+dTFA:-1+dF,G(=)]u(k)=dT[Y,(k+1)-He(k)] 归一化处理后得 u(k)=[1/F.(a)][D.(e")y,(k+p)-He(k] (13) 其中， Fe9=司a+dFa:+dsGe儿d-24 De=言，+4++de”"=d含 在反馈通道引入滤波器G2)=(1一￥)/(1-￥：)，由(13)式可画出系统的框图如图1 所示。显然系统具有内模结构， (k) "回土8-oa,⑧ (k) (C-1)/A G 1. 图1控制器内模结构框图 Fig.1 Block diagram of interal model structure of the controller

北 京 科 技 大 学 学 报 1哭砰 年 N b . 1 其 中 琴 (k + l ) = [又 (k + l ) , yf ( k + 2) , … , 又 ( k + p ) ] ( 8) 式代 人上 式 得 J = ￡ { [ G ’ △u k( ) + 名△u k( 一 l ) + 凡 , k( ) + ( H 一 凡 ) e k( ) + E 一 .Y k( + l ) ] T [ G ` A U ( k ) + F l△u ( k一 l ) + 凡夕 ( k ) + (H 一 凡 ) e ( k ) + E 一 rY k( + l ) ] + 又△ U T (k ) A U (k ) } ( 1 1 ) 日J 刁△ U k( ) = O , 整 理化 简可 得 △ u (无) = ( G勺 ` + 又了) 一 ’ G ` T [又 (k + l ) 一 汽△u (k 一 l ) 一 凡夕( k ) 一 (H 一 凡沁(k ) ] 采取 只 执行 当前 时刻 的控制 量 , k + 1 及 其 以后 时 刻的控 制量 重新计算 的闭环 控制 策 略 。 记 ( G 产七 / + 又I ) ” G ` T 的首 行 为 d T, 则上式 取首 行得 △ u k( ) = d T【.Y k( + l )一 F ,△u k( 一 l ) 一 凡夕k( ) 一 (H 一 凡冲( k ) 1 ( 12 ) 当过 程 参数未 知 或 缓 慢 变 化 时 , 首 先 估 计模 型 参数 , 用 估 计参 数 取 代 真 实 参 数求 解 iD o p ha nt ine 方 程 , 用求 得 的参数 代人 ( 1 2) 式 求 取控制 律 即构成 自校 正控 制系 统 . 2 系统的 内模结构 ( 12 ) 式 很容 易 写成 下面 的形 式 △u (人) 一 J T [ Yr (k + l ) 一 只△。 (k 一 l )一 凡少(k ) 一 H e (k ) ] 即: △。 (k ) = J T [ Yr (k + l ) 一 只△u (k 一 l ) 一 凡己( z 一 , ) u ( k ) 一 H e ( k ) ] 【A + d FT .山 一 ’ + d zFT G ( 二一 ’ ) l u (k ) = d T 【rY ( k + l ) 一 H e (k ) 1 归一化处理 后 得 u ( k ) = [ l / cF ( : 一 ’ 川 D r 令 一 ’ )夕 r ( k + 尹) 一 乓 e k( ) ] ( 13 ) 其 中 , 只(z 一 ’ 一 御 △+ dFT · ` Z一“示 ( : 一 )〕 , 试一 睿 Dr (z 一 ” 一 贵 【、 + 凡 一 lz 一 ’ + … + “ 声一 ’ 在反 馈 通道 引人 滤波 器 q ( : 一 ’ ) 一 (l 一 吩) (/ l 一 价丁 ’ ) , 所示 。 显 然 系 统具有 内模 结构 . 1 . 且一 华 夕d ` 、 d 。 局 了 ’ 由 ( 13 ) 式 可 画 出 系 统 的框 图如 图 l C / 注 G G · 1 1 , · 图 1 控 制器 内模结构框 图 瑰 . 1 日如出 d 咧笋阴1 of i n 帜门al m 司日 创” “ 血此 of 翻 。 ” 盛n 刃份

Vol.16 No.1 石中锁等：广义预测自校正控制器的内模结构及全局收敛性 71· 3系统的闭环特性 闭环系统的输出和输入方程可根据内模控制理论！直接写出 y(k)= z(1-a2)ABD. [Ri0-:)-2Ba,1-21A+:iH,-Bk+p)） [1-az）F.A-z1-g)HB]A +E0-,e）-2'BH,0-川4+：AH,-)B+W u(k)= (1-a2)AAD yk+p) [F A(1-ar2)-2-BH,(1-a)]A+2AH,(1-a)B (1-a)HAA [F A(1-a2)-z-BH,(1-a)]A+2AH,(1-a)B D 式中（内=(C/A)k)-[(C-1)/A]),闭环系统的稳定性由其特征方程的根来确定。 [F A(1-a2-)-H,(1-a)]zB]A+2AH,(1-a)B=0 可以看出无论A(2)、B(z)是否有z平面单位圆外的根，通过调整、p、M、g等 参数，可保证闭环系统稳定，并有较好的动态品质和鲁棒性.这也是本算法能应用于开环不 稳定或非最小相位系统的理论依据. 4鲁棒性分析 假设C(2)是已知稳定的多项式，只讨论A(z)、B区)失配时的鲁棒性，记A=A +A,B=B+B,其中“”号表示理论模型（非自适应情况）或估计模型（自适应情况）， AB为模型失配项。 令 Te)=[EA1-a21)-H(1-)]zB]A+z1AHB(1-g) H)=[F A(1-a2)-H(1-a)]2-B]A+2AH,B(1-a) 由Rouche定理)易证下面的结论。 定理1自适应情况下的鲁棒性 如果系统在任何时刻满足下面的条件： (1)可调参数使得T(z)是稳定的多项式： (2)建模误差满足|H(e")川<T(e"),j=√-I则构成的自校正系统是渐近稳定的。 5显式自校正算法的全局收敛性 加入滤波器G,(亿)后的控制律求解方程 Au(k)=d"[Y,(k+1)-FAu (k-1)-G,F2y(k)-(H-F)Ge(k)] (14)

V b l . 1 6 N 6 . 1 石 中锁等 : 广义预测 自校正 控制器的内模结构及全局 收敛性 3 系统的闭环特性 闭环 系统 的输 出 和输人方程 可根 据 内模控 制理论 〔 2】直 接 写 出 y (k) [Fc A ( l 一 吩 z 一 ’ ) 一 z 一 ’ B H , (l 一 份 ) ] A + z 一 ’ A H , ( l 一 吩 ) B yr (k + )P (l[ 一 价: 一 ’ ) cF A 一 : 一 ’ (l 一 价 )踌 B] A v (k) + C 一 l cF[ (lR 一 年 一 ’ )一 z 一 ’ 五H了(l 一 叼 ]+A : 一 ’ 万马 (l 一 叼 B 才 亡(k ) u (k ) (l 一 甲 一 ’ )A 万.D [cF A ( l 一 吩 z 一 ’ )一 z 一 ` B H , ( l 一 吩 ) ] A + z 一 ’ A H , ( l 一 份 ) B .y (k + 劝 (l 一 份)耳 A A [cF A ( l 一 价 z 一 ` ) 一 z 一 ’ B H , ( l 一 吩 ) ] A + z 一 ’ A H , (l 一 价 ) B v (k ) 式 中 。 (k )一 ( c /万)看(k) 一 [(亡一 1) /万 ] 子(k ) , 闭环 系统 的稳定 性 由其特 征方 程 的根 来 确定 . [cr 万( l 一 : , z 一 ’ )一 万了 ( l 一 吩 ) ] z 一 ’ 云]通 + z 一 ’ 万万, ( l 一 吩 ) B 一 。 可 以 看 出无 论 A (z 一 1 ) 、 B (z 一 ’ ) 是 否 有 : 平 面单 位 圆外 的根 , 通 过 调 整 又 、 p 、 M 、 吩 等 参数 , 可保 证闭环系 统稳定 , 并 有较好 的动 态 品质和鲁 棒性 . 这 也是 本算 法能 应用 于开 环不 稳定 或非 最小 相位 系 统的理 论依 据 . 4 鲁棒性分 析 假 设 c (z 一 ’ ) 是 已 知 稳 定 的 多 项 式 , 只 讨论 A ( z 一 ’ ) 、 B (z 一 ’ )失 配 时 的 鲁棒 性 , 记 A = 万 + 万 , B = 云+ 万 , 其 中 。 , , 号 表示 理 论模 型 (非 自适 应 情 况 ) 或 估计 模 型 ( 自适 应 情况 ) , 万 、 万为模 型 失配 项 。 令 T (z 一 ’ ) 一 【反万(l 一 听z 一 ’ ) 一 H , (l 一 吩 )] z 一 ’ 动方+ z 一 , 万H , 云(l 一 价 ) H (z 一 1 ) 一 cF[ 愈1一 年 一 ’ ) 一 H , (l 一 叼 z] 一 ’ 动升 z 一 ’ 万H ,州 l 一 叨 由 R o u c h e 定 理 「’ } 易证下 面 的结论 。 定 理 1 自适应 情况 下 的鲁棒 性 如果系 统在任 何 时刻满 足下 面 的条件 : ( l) 可调 参数 使得 T (z 一 ’ ) 是 稳 定 的多项 式 : ( 2) 建模 误差 满足 }H (e 一 , ` ) }引 T (e 一 , ` ) , j 一 了二丁则 构成 的 自校 正 系统是 渐 近 稳定 的 。 5 显式 自校正 算法 的全局收敛性 加人 滤波 器 G f (z 一 ’ )后 的控 制律 求解 方程 △u ( k ) = d T I.Y ( k + l ) 一 巩△u k( 一 l ) 一 fG 凡 , k( )一 (H 一 勾 fG e ( k ) ] ( 14 )

.72. 北京科技大学学报 1994年No.1 引入下面的记号 E(z）=dr[z,2,…,z]T(I-gz,Q(2)=d'F(1-x) H(e)=[1+zdrF](1-xrz'),D,(e)=d[H-F](1-￥r) 则控制律求取(14)式可写为 H(e)△u+Qe)y)+De)ek=E(e)y,内 (15) 当参数未知时，用下面的算法辨识模型参数 a)=k-+32k-0iy内-6rk-)6k-】a>0 (16) F(k)=r-1)+pT(k)p(k)、r(0)=1 (17) 式中0(k)是0在k时刻的估计，0和9(k)分别为 0r=[a1,a2,…,aa+t,b,b,…bb,c,…,cacJ (18) 'k-1)=[yk-1),…,y(k-n。-1,△(k-1),…△u(k-n。-1,(k-1),(k-n)】（19) k)=y(k)-T(k-1)0(k-1) (20) 显式自校正算法步骤： (1)采用(16)~(20)式估计参数A、B、C. (2)由(3)式、(S)式解Diophantine方程求出k时刻的F、F、E、G. (3)由(15)式求控制律·(4)返回(1). 下面给出全局收敛性分析所需的假设与引理· 假设(1)噪声项5(k)满足E{5()川Fk-1}=0a.s. 1 Ea'd.s.msup()a.s. 其中(k)是定义在概率空间(Q、F、P)中且适应于增加σ-代数{F,k飞N}的序列，F由 k时刻及其以前观测所产生，F。包含初始条件中的信息。 (2)A(e、B(eC(=)的阶次n。、n,n,的上界已知. (3)C(e)是稳定多项式. (4)C(e)-a/2严格证实，a为一小正数. 引理1当算法(16)~(20)式具有下面的性质 (1)l0(k)川≤M。<ka.s. (2)8(k)-0(k-1)川→0k→0，a.5. (3)8W-0k-0<0 a.s.d为有限正整数. 4宫潞<西a 式中：(k-1)=ξ(k)-5) (21) 证明见文献[41. 引理2当算法(15)~(20)式应用于系统(1)时，系统的输入输出特性为 [(iA+B'@)+[(i来-A)+(*.0-BG,【(B*,Hi-的)+(iB-户·B*)]] y(k) [(a*.0-A0)+(oA-.*)小，(i肩+o)+[(@B*-0館)+(a*.i-Ai△u(k)

北 京 科 技 大 学 学 报 1 1列辫 年 N o . 1 、 ., 尹、 口 、产产、.. `、àU7 ù且 `二. 曰 l 了`、.吸、 引人 下 面的记号 E ( z ) = d T [ : , 矛 , … , : p ] T ( l 一 份: 一 ’ ) , kQ ( z 一 ’ ) = d ’ 凡 ( l 一 吩) kH ( : 一 ’ ) 一 [ l + z 一 ’ d T 兀 ] ( l 一 吩 z 一 ’ ) , D * 仓 一 ’ ) 一 d T [ H 一 凡 ] ( l 一 吩 ) 则控 制 律求 取 ( 14 ) 式可 写 为 从 仕 一 ’ ) A u ( k ) + Q * 仓 一 ’ )夕( k ) + kD (z 一 ’ ) e (k ) = kE ( z ) 夕 , ( k ) 当参数未 知 时 , 用下 面 的算法 辨识模 型参数 8 (k ) = 8 (k 一 l ) + a 声(k 一 l) 币(k 一 川 , (凡)一 币 丁 (天一 l )百(儿一 l ) ] 云> o 声k( ) = 声(人一 l ) + 币 丁 ( k )币k( ) 、 r (0 ) = l 式 中 乡(k) 是 。 在 k 时刻 的估计 , 0 和 币(k) 分别 为 少二 匡 t , 瓦 2 , … , 瓦 。 +a . , b 。 , 阮 , 二 ’ 气 。 , cl , ` ” , 吼 。 ] 中 丁 (k 一 l ) 一 [ , (、 一 l ) , … , , (、 一 。 。 一 l ) , △。 (k 一 l ) , … △u ( 、 一 n 。 一 l ) , 着(k 一 l ) , 着(k 一 。 c ) ] 母(k ) 一 , ( 、 )一 动 丁 k( 一 l )户(天一 l ) 显 式 自校 正算 法步 骤 : ( l ) 采用 ( 16 )一 (2 0 )式估 计参数 A 、 B 、 C . ( 2 ) 由 ( 3 ) 式 、 ( 5 )式 解 D i o Ph a n t ine 方 程 求 出 k 时刻 的 F 、 F 、 E 、 G . ( 3 ) 由 ( 1 5 ) 式 求控 制 律 . ( 4 ) 返 回 ( l ) . ( 18 ) ( 19 ) ( 2 0 ) 下 面 给出全局 收敛性分 析所 需 的假设 与引理 假设 ( l) 噪声项 亡( k) 满 足 E {省k( ) } F * 一 , 卜 o a . 5 . E { 省 , ( k ) l凡 一 l } 一 a 2 a . , 忽 Su p贵互` ’ ( k ) < 的 a . 5 . 其 中 老(k ) 是定 义在 概率 空 间 (。 、 F 、 尸 ) 中且 适应 于增加 。 一 代数 { 凡 , k 分N } 的序列 , 凡 由 k 时 刻及 其 以 前观 测所 产生 , 0F 包含初 始条 件 中的信 息 。 ( 2 ) A ( z 一 ’ ) 、 B 少 一 , ) C ( : 一 ’ ) 的 阶次 n 。 、 n 。 、 n 。 的上界 已知 . ( 3 ) ( 4 ) 引理 1 ( l ) ( 2 ) C ( : 一 ’ ) 是稳 定 多项 式 . C 仓 一 ’ ) 一 及 / 2 严 格证 实 , 瓦 为一小 正数 . 当算法 110 (k ) 11 ( 16 )一 (2 0 ) 式 具有 下 面的性 质 毛 M0 < 田 a . 5 . }}8 (k ) 一 8 (k 一 l ) }} V k ~ 0 , k ~ 的 , a . ￡ ( 3) D }乡(k) 一 乡(k 一 朔 } ’ < 二 (4 ) 于兰丝 、 二 介= l r 气代) 证 明见 文献 【4] . a . 、 . d 为有 限正整 数 . 式 中 : (k 一 1) 二 考(k ) 一 亡(k ) ( 2 1 ) 当算 法 ( 15 )一 (20 ) 式 应用于 系 统 ( l) 时 , 系统 的输人 输 出特性 为 esr + 官 门. 1 esL ②+([ 序争 一 方方) +( g*, · 叠一官 5)] , 沙 * · 斤一丽 )+( 户户一 户 B*, )] · 叠 一 沁) + (公方一巨 · *2) ] , (戒 + 云,)Q 十 (6[ · *b, 一 莎 / ) + *(2 · 方一 筋 )] y (k ) A u ( k )

Vol.16 No.1 石中锁等：广义预测自校正控制器的内模结构及全局收敛性 73. 「B'它+*.龙-B) 月c+(i.c*-C) 月.C* y,(k)+ 5(K)+ z(k-1) 有E+(来.龙-A)小 -c-(⑨.c*-0c) -0.c* [B'D+(B'*-D-B'D) e(k) (23) D+D-) 定理2 全局收敛性定理 (1)假设(1)~(4)成立 (2)可调参数使得AH+⊙B'为稳定多项式，则自校正算法(15)-(20)式应用于系统(1)时 有下面的结论， )▣即大宫肉的 a.s. 2)p含如W<西 a.s. (a)▣只含i+iG)y图-⑧W-ic5肉广-0 a.3. (4▣太含v-= a.s. 证明见文献[1】 6仿真研究 被控对象为开环不稳定的非最小相 位系统，其模型如下： iaPP: (1-1.5z)y(k)=z'0.6+0.72) u(k-1)+(1-0.2z)5k)/△ 其中5(k)为高斯白噪声，方差为0.01， 参考设定信号为幅值为1的方波信号， 可调参数取p=3,M=1、1=1,柔化系 数a=0.75,反馈滤波器参数x,=0.6,仿 图2仿真曲线 真结果见图2. Fig.2 Simulation curues 7结论 本文给出的显式自校正广义预测控制器在一定条件下对建模误差是鲁棒的·显式自适应 算法是全局收敛的·仿真研究证明了算法的可行性， 参考文献 】石中锁.自适应预测控制的统一格式及全局收敛性：[硕士学位论文】，北京科技大学，1992 2舒迪前主编.自适应控制.沈阳：乐北大学出版社，1993.150~155 3钟玉泉，复变函数论，北京：高等教育出版社，1988.80~83 4 Hersh M A,Zerrop M B.Stochastic Adaptive Control of Non-Minmum Phase Systems.Optimal Control Application Method,1986,7 153 ~161

V6 1 . 16 N O . 石中锁等: 广义预测 自校正 控制器 的 内模结构及全局收敛性 「官云+ (云*, · 宕一 云哺 )1 「户亡+ (方 · 己 * 一方乙)1 「介 · 亡 * 1 一 … 、 、 + *(2 . 、 一 、、 。」 ’ r (k) + { 一 。。 一 (。 . 。一 。。 ) ] ` 伏,十 [ 一 。 . 。 * z] ( “ 一 , , e (k ) ( 2 3 ) 定 理 2 云 `乃+( 云*., 乃一 官动 方万+ *(3 · 乃一 初 ) 全局 收敛 性定 理 ( l ) 假设 ( l ) 一 (4 )成 立 . (2 ) 可调参数使 得 方斤+ 叠云 ,为稳定 多项 式 , 则 自校 正算法 ( 巧) 一 (20 )式 应用 于系 统 (l ) 时 有 下面 的结论 . 忽 S· p贵客 夕2 ( 、 ) < 的 a . 5 . ( 2 ) 忽suP 责如 2 &()< ① a . 5 . 蜒粤 全: 沂戈+ 官 。 ) , &() 一 官 孙 r k() 一 户亡; k() 】 、l ~ 囚 I V k= l = 0 a . s . 、少、产. . 1 . 1 巨、了几r 内」 、 ( 4 ) Um 觉[ , 伏)一 , ( 、 ) ] ’ 一 。 ’ a · , · 证 明见 文献 【1] . 6 仿真研究 被控对 象为开环 不稳定 的非最刁湘 位系 统 , 其模 型如 下 : ( l 一 1 . 5 2 一 ’ )夕 ( k ) = z 一 ’ (0 . 6 + 0 . 7 2 一 ’ ) u (k 一 l ) + ( l 一 0 . 2 2 一 ’ ) 七(k ) / A 其中亡( k) 为高斯 白噪 声 , 方差为 0 .0 1 , 参考 设定 信 号为 幅值 为 l 的方波信号 , 可调 参数取 p = 3 , M = 1 、 又二 l , 柔化 系 数 “ 一 .0 75 , 反 馈滤波 器参 数份二 a 6 , 仿 真结 果见 图 2 . 7 结 论 拭i步七斗于洲决鉴廿瑞 妇 l r ` 护` 卜 )一一 介 ` 图 2 仿真 曲线 瑰 . 2 5如“ . 垃扣 ~ 本文 给 出的显 式 自校正 广义预 测控 制器在 一定 条件 下对建 模误 差是 鲁棒 的 . 显 式 自适 应 算法 是全 局收 敛 的 . 仿真 研究 证 明 了算 法的可 行性 . 参 考 文 献 1 石 中锁 . 自适应 预 测 控 制 的 统 一 格 式 及 全 局 收 敛性 : [ 硕士 学 位论 文 ] . 北京科 技大 学 , 2 舒 迪前 主 编 . 自适 应控制 . 沈 阳 : 东北 大学 出 版社 , 1卯3 . 150 一 巧5 3 钟玉泉 . 复 变函 数论 . 北 京 : 高等教 育 出 版社 , 198 . 80 一 83 4 H ers h M A , 及rm p M B . S t oc 玩滔 itc A da p it 祀 伪 n itD l of No n 一 M ~ P l笼巧e s 声 t e n ` . bC n tro l AP P lica ito n & M e山记 , 198 6 , 7 : 1 5 3 一 16 1 1卯2 OP t irT 囚