网络控制系统的一种统一的Markov跳变模型

D01:10.13374j.isml00103x.2007.11.22 第29卷第11期 北京科技大学学报 Vol.29 No.11 2007年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2007 网络控制系统的一种统一的Markov跳变模型 刘磊明童朝南 北京科技大学信息工程学院.北京100083 摘要对于网络诱导延迟的上界大于或小于一个采样周期的两种不同情况的连续时间网络控制系统.采用离散化与增广 状态空间方法，建立了统一的M arkov链离散时间跳变模型.由于模型含有反映系统的网络诱导延迟的大小与计算精度的参 数，因此它具有更广泛的适应性.应用离散时间线性跳变系统理论.分析了保证系统均方稳定的充要条件.在所论及的保证 系统均方稳定的设计算法中，给出了一种求内点法初始可行解的方法.在延迟带有一定任意性的车载倒立摆的网络控制设计 中，该改进算法得到了有效应用. 关键词网络控制系统：延迟：跳变系统：Markov链：离散化：增广状态空间方法 分类号TP393.0 网络控制系统NCS(Netw orked Control Sys- 性能分析得到简化.文献2一3在延迟上界小于采 tms是基于网络的实时闭环反馈控制系统，目前越 样周期h的假设下，将系统的稳定性问题归结为一 来越广泛地应用于工业控制的各个领域.由于网络 个增广矩阵的Sr性问题.对于延迟为随机时变 中信息源很多，信息的传送要分时占用网络通信线 且有噪声输入的情况，文献[4一5把随机最优控制 路，而网络的承载能力和通信带宽有限，使得信息在 的方法应用于短延迟（即<h)的NCS,文献[可把 传输过程中不可避免地存在延迟，包括数据传输延 文献5)的方法推广应用到带有长延迟（即≥） 迟，数据处理延迟和网络诱导延迟.一般情况下，在 的NCS.文献7刀对于长延迟的情况给出最优控制 NCS中前二种延迟可以忽略.因此，本文所论述的 律，并给出保证系统均方指数稳定的一个充分条件. 延迟，均指网络诱导延迟.由于受到网络所采用的 对于NCS延迟为随机过程，过程状态条件相 通信协议、负荷情况、网络传输速率和信息包大小等 关，状态数有限且符合M arkov链的情况，一些文献 诸多因素的影响，延迟会呈现出定常或时变、确定或 把NCS建模成线性跳变系统.如文献[8]用增广状 随机的差异，而相对于采样周期的长度，则或为长延 态空间方法把数字控制问题增广为离散时间线性跳 迟，或为短延迟.同为随机延迟相继发生的延迟为 变系统，然后应用该系统标准的稳定性判据，给出带 相互独立或条件相关.对于网络诱导延迟，如果设 有长延迟的NCS数字控制问题的稳定性设计；文 计时不予考虑可能导致系统性能下降甚至不稳定， 献4把网络负载的高、中、低作为M arkov随机过 这就是NCS的延迟带来的消极影响. 程的状态，文献[8一9]把延迟对h的倍数作为随机 延迟对控制系统稳定性的影响及相应条件下控 过程的状态，并在此基础上建立网络控制系统的 制方法的研究。使己有的随机最优控制、最优滤波技 模型 术，增广状态空间方法及混杂系统理论，包括线性跳 近十几年来对网络控制系统发展影响较大的文 变系统理论等有关方面理论成果与方法增加了现实 献都是按延迟上界大于或小于传感器的一个采样周 的应用前景，引起了人们在相应领域更广泛的研究 期来分别进行建模、分析与设计的.本文给出一种 兴趣. 新模型，该模型不同于文献[2一5,10，不是仅限于 按照网络诱导延迟的性质、类型与大小的不同， 延迟小于一个采样周期的情况来建立模型，或按延 很多文献己给出相应的分析和补偿方法.对于网络 迟上界大于或小于一个采样周期来分别进行建模； 延迟为时变的情况，文献一2]引用缓存器作为补 也不同于文献[8一9，所建模型不是仅限于延迟为 偿方法将时变延迟变为定常延迟，从而使对系统的 采样周期整数倍.本文对延迟的上界大于或小于一 个采样周期的两种不同情况的连续时间网络控制系 收稿日期：2006-06-15修回日期：2007-01-16 统建立了统一的M arkov链离散时间跳变模型，以 作者简介：刘磊明(1977一)，女，讲师，博士：童朝南(1955一)，男，教 授，博士生导师 期所建模型对带有更广泛类型和性质的网络诱导延

网络控制系统的一种统一的 Markov 跳变模型 刘磊明 童朝南 北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 摘 要 对于网络诱导延迟的上界大于或小于一个采样周期的两种不同情况的连续时间网络控制系统, 采用离散化与增广 状态空间方法, 建立了统一的 Mar kov 链离散时间跳变模型.由于模型含有反映系统的网络诱导延迟的大小与计算精度的参 数, 因此它具有更广泛的适应性.应用离散时间线性跳变系统理论, 分析了保证系统均方稳定的充要条件.在所论及的保证 系统均方稳定的设计算法中, 给出了一种求内点法初始可行解的方法.在延迟带有一定任意性的车载倒立摆的网络控制设计 中, 该改进算法得到了有效应用. 关键词 网络控制系统;延迟;跳变系统;Markov 链;离散化;增广状态空间方法 分类号 TP393.0 收稿日期:2006-06-15 修回日期:2007-01-16 作者简介:刘磊明( 1977—) , 女, 讲师, 博士;童朝南( 1955—) , 男, 教 授, 博士生导师 网络控制系统 NCS ( Netw orked Control Sys￾tems) 是基于网络的实时闭环反馈控制系统, 目前越 来越广泛地应用于工业控制的各个领域 .由于网络 中信息源很多, 信息的传送要分时占用网络通信线 路, 而网络的承载能力和通信带宽有限, 使得信息在 传输过程中不可避免地存在延迟, 包括数据传输延 迟、数据处理延迟和网络诱导延迟 .一般情况下, 在 NCS 中前二种延迟可以忽略 .因此, 本文所论述的 延迟, 均指网络诱导延迟 .由于受到网络所采用的 通信协议 、负荷情况 、网络传输速率和信息包大小等 诸多因素的影响, 延迟会呈现出定常或时变、确定或 随机的差异, 而相对于采样周期的长度, 则或为长延 迟, 或为短延迟 .同为随机延迟, 相继发生的延迟为 相互独立或条件相关.对于网络诱导延迟, 如果设 计时不予考虑, 可能导致系统性能下降甚至不稳定, 这就是 NCS 的延迟带来的消极影响. 延迟对控制系统稳定性的影响及相应条件下控 制方法的研究, 使已有的随机最优控制 、最优滤波技 术、增广状态空间方法及混杂系统理论, 包括线性跳 变系统理论等有关方面理论成果与方法增加了现实 的应用前景, 引起了人们在相应领域更广泛的研究 兴趣 . 按照网络诱导延迟的性质 、类型与大小的不同, 很多文献已给出相应的分析和补偿方法 .对于网络 延迟为时变的情况, 文献[ 1-2] 引用缓存器作为补 偿方法, 将时变延迟变为定常延迟, 从而使对系统的 性能分析得到简化 .文献[ 2-3] 在延迟上界小于采 样周期 h 的假设下, 将系统的稳定性问题归结为一 个增广矩阵的 Schur 性问题 .对于延迟为随机时变 且有噪声输入的情况, 文献[ 4-5] 把随机最优控制 的方法应用于短延迟( 即 τk <h)的 NCS, 文献[ 6] 把 文献[ 5] 的方法推广应用到带有长延迟(即 τk ≥h) 的 NCS .文献[ 7] 对于长延迟的情况给出最优控制 律, 并给出保证系统均方指数稳定的一个充分条件. 对于 NCS 延迟为随机过程, 过程状态条件相 关, 状态数有限且符合 M arkov 链的情况, 一些文献 把 NCS 建模成线性跳变系统.如文献[ 8] 用增广状 态空间方法把数字控制问题增广为离散时间线性跳 变系统, 然后应用该系统标准的稳定性判据, 给出带 有长延迟的 NCS 数字控制问题的稳定性设计 ;文 献[ 4] 把网络负载的高 、中、低作为 M arkov 随机过 程的状态, 文献[ 8-9] 把延迟对 h 的倍数作为随机 过程的状态, 并在此基础上建立网络控制系统的 模型. 近十几年来对网络控制系统发展影响较大的文 献都是按延迟上界大于或小于传感器的一个采样周 期来分别进行建模 、分析与设计的.本文给出一种 新模型, 该模型不同于文献[ 2-5, 10] , 不是仅限于 延迟小于一个采样周期的情况来建立模型, 或按延 迟上界大于或小于一个采样周期来分别进行建模; 也不同于文献[ 8-9] , 所建模型不是仅限于延迟为 采样周期整数倍.本文对延迟的上界大于或小于一 个采样周期的两种不同情况的连续时间网络控制系 统建立了统一的 M arkov 链离散时间跳变模型, 以 期所建模型对带有更广泛类型和性质的网络诱导延 第 29 卷 第 11 期 2007 年 11 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol.29 No.11 Nov.2007 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2007.11.022

1164 北京科技大学学报 第29卷 迟的系统具有适应性和实用性，能够更好地模拟网 (4)作动器是事件驱动的，作动器总是输送最 络控制系统的实际情况 新控制信号，直到更新的控制信号到达 1网络控制系统的Markov跳变模型 (5)控制器与作动器的接收端分别有一个接收 缓冲器，分别接收由传感器与控制器传送来的最新 网络控制系统一般结构如图1所示 数据包，控制器与作动器以周期h1读取其接收缓冲 状态x() 器中的数据 作动器被控对象 传感器 (6)据式(1)、式(2)，延迟c由非负整数dk、ek 决定.设d、e%(k=1,2,…)分别为时齐Markov过 网络 程，其状态集分别为9：={0,1，…，d-1}和9。= 10,1,…,N0-1}.由其时齐性，延迟的状态转移概 控制器 输出y.(0 y(t) 状态x() 率矩阵Pd、Pe与采样时刻t无关，且可由网络实测 图1带廷迟的网络控制系统的一般结构 得到. Fig.1 General structure of NCS with delays (7)控制律(4)中的K有两种计算模式：如果 采用模式相关反馈控制律，则表明其与延迟τ(t)的 设由传感器到控制器的延迟为x∝(t),控制器 到作动器的延迟为x(t),记x(t)=x(t)+ 模式d,e相关，记K为Kd,,d∈9a,ee∈0：如 果采用模式独立反馈控制律，表示K与延迟x(t) (t).当控制器增益K为时不变时，可设)，(t)= 模式无关，仍记作K 0,x(t)三x(t);或者当控制器增益K为时变的， 但是作动器与控制器直接连接时]，仍可设上式 由假设和控制策略(1)和(2)，式(1)和式(2)给 出的延迟表达式能够实现.以下导出本文的主要 成立 模型. 设h为传感器的采样周期，记采样时刻t= 将式(4)代入式(3)，并应用式(2)，离散化得： h,记t(t)=k,设延迟有界，即存在与时间t无 关的最小正整数d,满足0≤x(t)<dh,取一正整数 x(t+1)=ex()+T0,4k-4,+T1e4k-d-1 (5) N。,令A1-后从面，对于任一采样时刻，可有： 其中， dih +ehist<dgh+(ex+1)h1 (1) T0,= h-eds·B 0 其中，d、e,均为非负整数 (6) 当式(1)成立时，取的值为： (2) r,-sB Ta=dgh +eh 式(5)和(6)中用到了假设(2)、(3)和(4)与标准 易见，式(2)表示的延迟误差小于h1, 的离散化公式[3].由控制律(4)与假设(6)、(7)， 设如图1的网络控制系统的连续时间模型为： 得到 x(t)=Ax(t)+Bu(t) (3) y(t)=Cx(t) x(t4+1)=e"x()+T0.eKdr(-d,）+ 其中x(t)∈R",u(t)∈R,y(t)∈Rm,而A、B、C Ii.eK4er(t-d-i),de∈a,ea∈9e 为适维的常数矩阵 令￡()=[x()Tx(t-1)T 控制输入为（参见图1）： x(t-a)T]T,C=[0,…,0,,0,…,0],其中C u(t)=Kx(t-z(t)) (4) 由d+1个子块组成.I为与A维数相同的单位矩 对于延迟满足式(1)、式(2)的系统式(3)、式 (4),给出如下的假设和控制策略. 阵，且为C,的第：子块，据此， (1)控制系统的不同节点时钟同步，数据包有 (+i)=A4s(K4)(a), 时间戳记 dk∈9d,ee∈9e,k=0,1,2,… (7) (2)传感器为时钟驱动，即有定长采样周期h, 其中， 采样时刻为kh. Ad（Kd5)= (3)控制器是事件驱动的，控制器总是应用最 新数据计算控制信号，随即传给作动器， A+r0K4eC+1+i.eK4C4+2(8)

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第11期 刘磊明等：网络控制系统的一种统一的Markov跳变摸型 。1165。 阵为： 0 0 0 P=P☒Pe· (13) 0 A= 其中，⑧表示矩阵的Kronecker积.容易证明P也 0 是一个随机矩阵.从而模型(7)是以式(12)为状态 0 集，以式(13)中的P为状态的转移概率矩阵的 I [1 Markov跳变系统模型.而关于离散时间Markov跳 变系统模型性能分析特别是稳定性分析，近年来已 0 de∈9d,es∈9。. 有研究成果可用. 0 2线性跳变系统的稳定性分析 由式(7)的适维性决定上述分块矩阵的维数. 已建立的网络控制系统的离散时间Markov跳 根据假设(6)，随机延迟产生的d按时间t,k= 0,1,…是一个随机过程，符合Markov链，而9a= 变线性系统模型(7)，为了符号上简单，把式(7) 写成： {0,1,…0,d-1}为其状态集.记d1=d-1,其状 态转移概率矩阵可经实测得到，设为： x+1=A,（K.)xk,i∈9a,j∈9，k=0,1,2,… (14) piwp8i…pid, 其中，x∈Ra+),A(K.)为n(d+1)阶方阵. d P10 Pi … d pd= id 计有d×No个矩阵A,（K,).而 A.(K）=A+io.K.C+1+T1,K.C+2 p (15) 设随机过程k,j,k=0,1,…关于状态集9：与 0,会馆1=01d (9) 9。的状态概率分布行向量分别为π(k)=[π(k), 即P为一随机矩阵.根据控制策略(4)、(5)，由i, …,号-1(k)]与x(k)=[6(k),…,。-1(k)], 转移到+1，延迟至多增加1，即当t+1时刻或在 从而得(i,j),k=0,1,…关于状态(9,9)的状态 +1≤tr+1, π(0)=0应为(i0,j0)的概率分布，从而 则： π(k+1)=π(k)P,k=0,1,… (16) Pi.n=Probli+1=s=r=0 (10) 为了讨论系统(14)的稳定性，对于i=0,1,…, 这是随机矩阵P应满足的条件， d-1,j=0,1,…,N0-1作如下的下标变换：对应 设d、%互相独立，且随机延迟t.产生的序列 于(i,j),令←N0+j,据此及式(12)，得： e,k=0,1,2,…是一个Markov过程，其状态集为 9=10,1,…,d},d=dN0-1(17) 9。=10,1,…,No-1},记d2=N0-1,状态转移概 从而把式(14)写成： 率矩阵可经实测得到，设为： x+1=A(K)x,i∈9，k=0,1,2,…(18) pi0p61… podz 说明：(1)所建立的跳变系统模型(14)、(15)中 的A.(K.)显然与式(3)中的矩阵A、B有关，而 Pio pi pe= Pidr 且还与反映延迟大小的参数d和反映模型精确程 度的参数No有关.当No=1时，即是文献[8]中的 Lpa pai Pada 一个模型.这是一种长延迟的网络控制方法，文 献[8]把延迟时长设为传感器采样周期h的整数 p≥0.2p%=1.i=0.1,d4 (11) 倍.本文的模型可把延迟精确到k的倍，N,为 以上述为基础，状态集为 任意取定的正整数. 9=9a×9。={(0,0),(0,1),…,(0,d2),…, (2)如果设d为常数，即与k无关，则得到文 (d1,0),(d1,1),…,(d1,d2)} (12) 献[3]中的一种模型. 的随机过程(d,e),k=0,1,…的状态转移概率矩 (3)如果设d=1,则归到文献中所论的短延迟

第 1 1 期 刘 磊 明 等 : 网 络 控 制 系 统 的 一 种 统 一 的 M a r k o v 跳 变 模 型 · 1 1 6 5 ·

。1166 北京科技大学学报 第29卷 的情况，多为用随机最优控制方法，如文献[45]· E+1(x+山，i川，i}-(xk,边= 本文以式1)和(2)为基础给出了一种短延迟情况 V(,i) 下的延迟离散化的新方法. (4)基于对模型(7)（或式(14）)所含参数d、No x-R)≤-鹎MO) 入m(-Ri) (22 XiOXk 的讨论可见，对于带有长延迟和短延迟的NCS模型 入m(-R: 来说模型(14)具有一般性；对于M arkov跳变类型 令=1-u(o,, 则y与k无关 模型来说，模型(14)具有统一性.由式(15)中 由式(22)得： A,(K)的表达式可见它关于K,仍是线性的 E(⅓+(+i川，i》-,i≤Y-K0, 显式形式这对于保持问题的凸性和选择算法很重 Va(xk,i) 要.因此模型的一般性与统一性对于设计算法未增 即 Ei(xx+1,j)xk,iyv(x&,i). 加本质性的困难. 据此得： 文献1213]给出判定离散时间M arkov跳变 线性系统稳定性的充要条件.而文献14对于有噪 (，s)lx0,s0≤ 声的情况给出类似充要条件，同时还给出其他等价 充要条件，如一个增广矩阵的谱半径小于1的条件. I++6(.=上 1-y%(x0,s0, 本文应用文献13]的定义，并给出一个均方稳定的 因此 充要条件的充分性的证明， 定义1系统(18)是随机稳定的(S$),如果对 于每个初始状态x0,s0∈6，存在一个仅与x0,s0有 1-76(xo0N(os0Ko∞ (23) 关的有限数值N(xoso>0,使 再由Rayleigh商， 会owI旧wy≤Nw刘. 24) 定义2系统(18)是均方稳定的(MSS),如果 ≤明0导 XQXR 对于每个初始状态x0,s0∈0，使得 其中，B与k无关. imE ll xx(xo so)21xo.5o)=0 (19) 由式(23)、式(24)即证得定理的充分性部分 关于随机稳定性有如下定理B,1 定理2坶对于系统(18，根据定义1的随 机稳定性与根据定义2的均方稳定性是等价的 定理1系统(18)是随机稳定的，其充要条件 是存在一组对称正定矩阵Qo,Q1,,Q,使得 定理34记 :三A pre 4-0ai=a1..d T1i(Q0,21,;Q)= (20) T2i(2o,21,Qa)= 会piOt 此处矩阵不等式R0表示R;对称负定，下同. 证明：利用文献15]的方法下面只给出充分性 T3Qo,Q1,5;0a)= p404 的证明，必要性证明参见文献13].首先定义Ly punov函数k(,)=xxk,从而+1(+， T4i(Qo.Q1.Q)= S P4C4125) +1=x+10++1. 系统(18)均方稳定等价于如下的四个条件之一： 设s张=i,+1=j,则： 存在对称正定矩阵Q0,；Q,满足 EVH(x+1,i川xk,i}-项(，i)= 0-TyQo,21,;2aD0,j=0,1,;d (26) 2pii0-i0u= 式中，7分别取1,2,3,4. a会p见4-g= 说明：据文献[15)]，均方稳定条件下，对于每个 初始状态x0,s0,典‖‖=0以概率1成立，即所 -xE(-R)x<0 (21) 谓几乎必然稳定.这也说明了均方稳定的实际 对于≠0， 价值

的情况, 多为用随机最优控制方法, 如文献[ 4-5] . 本文以式( 1)和( 2)为基础, 给出了一种短延迟情况 下的延迟离散化的新方法 . ( 4) 基于对模型( 7)( 或式( 14) )所含参数 d 、N0 的讨论可见, 对于带有长延迟和短延迟的 NCS 模型 来说, 模型( 14) 具有一般性 ;对于 M arkov 跳变类型 模型来说, 模型 ( 14) 具有统一性 .由式 ( 15) 中 Ai , j( Ki, j) 的表达式可见, 它关于 Ki, j 仍是线性的 显式形式, 这对于保持问题的凸性和选择算法很重 要.因此模型的一般性与统一性对于设计算法未增 加本质性的困难 . 文献[ 12-13] 给出判定离散时间 M arkov 跳变 线性系统稳定性的充要条件.而文献[ 14] 对于有噪 声的情况给出类似充要条件, 同时还给出其他等价 充要条件, 如一个增广矩阵的谱半径小于 1 的条件 . 本文应用文献[ 13] 的定义, 并给出一个均方稳定的 充要条件的充分性的证明 . 定义 1 系统( 18) 是随机稳定的( SS ), 如果对 于每个初始状态 x0, s 0 ∈ θ, 存在一个仅与 x0, s 0 有 关的有限数值 N ( x0, s0) >0, 使 limK ※∞ E ∑ K k =0 ‖xk ( x0, s0) ‖ 2 x0, s0 ≤N ( x0, s0) . 定义 2 系统( 18)是均方稳定的( M SS) , 如果 对于每个初始状态 x0, s0 ∈ θ, 使得 limk ※∞ E{‖ xk ( x 0, s0) ‖ 2 x 0, s0}=0 ( 19) 关于随机稳定性有如下定理 [ 13, 15] . 定理 1 系统( 18) 是随机稳定的, 其充要条件 是存在一组对称正定矩阵 Q0, Q1, …, Qd, 使得 Ri ≡A T i ∑ d j =0 pijQj Ai -Qi 0, j =0, 1, …, d ( 26) 式中, η分别取 1, 2, 3, 4 . 说明:据文献[ 15] , 均方稳定条件下, 对于每个 初始状态 x0, s 0, limk ※∞ ‖xk ‖ =0 以概率 1 成立, 即所 谓几乎必然稳定 .这也说明了均方稳定的实际 价值. · 1166 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷

第11期 刘磊明等：网络控制系统的一种统一的Markov跳变模型 。1167。 3保证系统稳定的设计与算法 工具箱来求解式(29)中的2，求得Q后令Q0= Q1=…=Q=Q.至此得到求解式(27)的内点法 3.1算法的一般性描述 的初始可行解，这是内点法较困难的一个关键步骤 对于给定的P=(p,,j=0,L,2,…,d.关 以下的算法为文献8)的V一K算法. 于定理3所述的四个条件之一，可以保证系统(18) 3.3-K迭代算法 均方稳定.例如取=4时，系统(18)均方稳定的充 初始随机矩阵Po的结构取成形式(28)，能够 要条件为：存在对称正定矩阵20，，Q,使得 较容易的求得式(27)的初始可行解.还应取P。与 Q-∑P(A(K)g4(K)>0 PE尽可能接近.取适当的摄动矩阵，逐步把Po变 (27) 成PE,并对应的找到保证系统均方稳定的O和 j=01,;d K(j=0,1,;d),设摄动矩阵为dP,I=1,2, 因此，式(18)的稳定性设计问题归结到找Ko,K1, ；Kd,o,Q1,,2,使式(27)成立.问题(27)关 L,满足PE=Po十 之dP,且每个dP,的每行元素 于o,Q1,,Qa是线性矩阵不等式(LMI);关于 之和应为0.其元素的绝对值为小的正数，如0.01、 K0,K1,,Ka是二次矩阵不等式.据文献8,17， 0.005或0.可以按照如下的L个迭代实现稳定性 应用Schur补，式(27)关于Ko,Ki,;Kd也可以 设计： 变成LM1问题.因此，可把(27)的求解过程设计成 令=1， 依次求Ko,K1,,Kd和2oQ1,,Qa的凸的或 第一步，对于第1迭代，摄动P1: 拟凸最优化问题；问题的凸性可以保证内点法能求 PI=PH1+dPI (30) 得全局最优解 第二步，求&，K,=0,1,…,d,即修正a及 3.2初始可行解的求解方法 Ki. 设所论的NCS延迟形成的随机过程的状态转 固定QoQ1,…,Qa,关于变量K0K1,…；Kd 移概率矩阵PE=(p)∈R什)x(+)己知.其中 和α，解最优化问题： P满足与式(9)类似的条件，即PE为随机矩阵.然 min a 后，求问题(27)的初始可行解Ko,K1,;Kd和 subject to ao- P(AK)· Qo,21,,Qd. ≥0 首先为了求Ko,K1,；Ka的初始值，考虑模 2(A(K）>0,j=0,1,;d,00，=0,1，，d,使满足 K1,…,Kd一起成为(27)的初始可行解.对于一般 0- 形式的随机矩阵P￡，这是一个困难的问题.取特殊 会p((K'Q(AKD0, j=0,1,…;d (32) 的随机矩阵Po,如下： 直到仁L,或第三步不可行，程序结束.若 o Th 0 L,则1十1→L,返回到第一步 Tlo 7 … 心 P0= (28) 说明：据文献[17]，在应用内点法时，在求得可 行解后，用“围墙法”，即障碍函数法，沿牛顿方向搜 LTo 71 索最优解.本文算例中采用了较简单的共轭梯度方 Po的元素满足式(17). 向，取得较好结果.这避免了计算量浩繁的二阶导 设Q0=Q1==Q=Q,式(27)变成关于变 数矩阵计算. 量Q的LMI: 4实例 -A(K)(K))0 =0 (29) 对于如图2所示的车载倒立摆的网络控制问 Q>0 题，在其网络诱导延迟符合Markov链的情况下，对 由己知的Ko,Ki,,Ka和Po,用Matlab的LMI 系统进行了模拟计算

3 保证系统稳定的设计与算法 3.1 算法的一般性描述 对于给定的 P =( pij ), i, j =0, 1, 2, …, d .关 于定理 3 所述的四个条件之一, 可以保证系统( 18) 均方稳定.例如取 η=4 时, 系统( 18)均方稳定的充 要条件为 :存在对称正定矩阵 Q0, …, Qd , 使得 Qj - ∑ d i =0 pi j( Ai( Ki)) T QiAi( Ki) >0 j =0, 1, …, d ( 27) 因此, 式( 18)的稳定性设计问题, 归结到找 K 0, K1, …, Kd, Q0, Q1, …, Qd , 使式( 27)成立.问题( 27) 关 于 Q0, Q1, …, Qd 是线性矩阵不等式( LM I) ;关于 K0, K1, …, Kd 是二次矩阵不等式.据文献[ 8, 17] , 应用 Schur 补, 式( 27) 关于 K0, K1, …, Kd 也可以 变成 LMI 问题 .因此, 可把( 27)的求解过程设计成 依次求 K0, K 1, …, Kd 和 Q0, Q1, …, Qd 的凸的或 拟凸最优化问题 ;问题的凸性可以保证内点法能求 得全局最优解. 3.2 初始可行解的求解方法 设所论的 NCS 延迟形成的随机过程的状态转 移概率矩阵 PE =( pi j) ∈ R ( d +1) ×( d +1)已知 .其中 pij满足与式( 9)类似的条件, 即 PE 为随机矩阵 .然 后, 求问题( 27) 的初始可行解 K0, K1, …, Kd 和 Q0, Q1, …, Qd . 首先, 为了求 K0, K1, …, Kd 的初始值, 考虑模 型( 3)和( 4)中无延迟的情况, 建立最优控制的代价 函数, 求得最优控制器 LQR( linear quadratic reg ula￾tor) 的增益 K , 然后取 Ki =K ( i =0, 1, …, d ) .其 次, 求对称正定矩阵 Q0, Q1, …, Qd, 使其与 K0, K1, …, Kd 一起成为( 27) 的初始可行解.对于一般 形式的随机矩阵 P E, 这是一个困难的问题.取特殊 的随机矩阵 P0, 如下: P 0 = η0 η1 … ηd η0 η1 … ηd     η0 η1 … ηd ( 28) P0 的元素满足式( 17) . 设 Q0 =Q1 =…=Qd =Q, 式( 27) 变成关于变 量 Q 的 LM I : Q - ∑ d i =0 ηi( Ai( Ki)) T Q( Ai( Ki)) >0 Q >0 ( 29) 由已知的 K0, K1, …, Kd 和 P 0, 用 Matlab 的 LMI 工具箱来求解式( 29) 中的 Q, 求得 Q 后令 Q0 = Q1 =…=Qd =Q .至此, 得到求解式( 27) 的内点法 的初始可行解, 这是内点法较困难的一个关键步骤. 以下的算法为文献[ 8] 的 V-K 算法 . 3.3 V-K 迭代算法 初始随机矩阵 P 0 的结构取成形式( 28), 能够 较容易的求得式( 27)的初始可行解.还应取 P0 与 PE 尽可能接近.取适当的摄动矩阵, 逐步把 P0 变 成 PE, 并对应的找到保证系统均方稳定的 Qj 和 Kj ( j =0, 1, …, d) , 设摄动矩阵为 dPl , l =1, 2, …, L , 满足 P E =P0 + ∑ L l =1 d Pl , 且每个 dPl 的每行元素 之和应为 0 .其元素的绝对值为小的正数, 如 0.01 、 0.005 或 0 .可以按照如下的 L 个迭代实现稳定性 设计: 令 l =1, 第一步, 对于第 l 迭代, 摄动 Pl : Pl =Pl-1 +dPl ( 30) 第二步, 求 α, Kj , j =0, 1, …, d, 即修正 α及 Kj . 固定 Q0, Q1, …, Qd , 关于变量 K 0, K1, …, Kd 和 α, 解最优化问题: min α subject to αQj - ∑ d i =0 pji( Ai( Ki)) T · Qi( Ai( Ki)) >0, j =0, 1, …, d , 0 0, j =0, 1, …, d , 使满足 Qj - ∑ d i =0 pji( Ai( Ki)) T Qi( Ai( Ki) ) >0, j =0, 1, …, d ( 32) 直到 l =L, 或第三步不可行, 程序结束.若 l < L , 则 l +1 l, 返回到第一步 . 说明:据文献[ 17] , 在应用内点法时, 在求得可 行解后, 用“围墙法”, 即障碍函数法, 沿牛顿方向搜 索最优解.本文算例中采用了较简单的共轭梯度方 向,取得较好结果.这避免了计算量浩繁的二阶导 数矩阵计算 . 4 实例 对于如图 2 所示的车载倒立摆的网络控制问 题, 在其网络诱导延迟符合 Markov 链的情况下, 对 系统进行了模拟计算. 第 11 期 刘磊明等:网络控制系统的一种统一的 Markov 跳变模型 · 1167 ·

。1168 北京科技大学学报 第29卷 P的初始值取为： 「0.20.30.30.2 0.20.30.30.2 P0= 0.20.30.302 L0.20.30.302 P的摄动方式依次取为： dP=dP2=..=dP2= 图2车载倒立摆示意图 00.005-0.0050 Fig 2 Cart and inverted penduu 0 0 0 0 在此图形中，设小车质量为M=2kg,摆的质量 0 0 0 0 为m=0.1kg,摆的长度为l=0.5m,采样周期为 0 0 a h=0.03s.小车位置为x,摆的角度为0.令x1= dP22=dP23=…=dP40= 0,x2=0,x3=x,x4=元，取y=x=x3,得状态 0 00 0 7 方程： 0.00500 -0.005 x=Ax+Bu 000 0 (33) y=Cr十Du 0 00 0 其中x=[ x2x3x4I.注意，这里的x为 dP41=dP42=…=dP56= 向量，与上面的位置变量x不同，而 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 M十m M18000 1 0 0 0 0 MI -0005-00050.005 0.005 0 001 ,B= 0 经过56次摄动，由初始矩阵Po,变成所期望的延迟 000 L 状态转移概率矩阵PE,并得到保证系统均方稳定的 控制器： 即 K1=[91.71719.99818.02812.141 0 10 0 0 K2=[91.72320.05418.01612.089 206010 0 0 B= 0 00 0 K3=[91.71120.11118.01612.088] -0.4905000 L0.5 K4=[91.70720.28217.99111.8361 C=[0010,D=0. (37) 为求初始可行解，应将模型(33)在无延迟的情 对于任意给定的初始概率分布向量π，由于延迟的 况下离散化.设其离散化形式为： 状态转移概率矩阵为PE,所以各个k时刻的延迟 +1=A1十B1k 概率分布为： (34) JA=C1xk十D1k 元k=π0P,k=0,1,2,L (38) 取代价泛函 其中，L为模拟控制时长.当给定初始延迟状态的 会ioa+i 概率分布π0=[0.200.300.300.20]时，得到 J- (35) 的闭环系统的初始条件响应曲线如图3所示.改变 其中Q=diag(1,1,1,1). 上述的π0值及初始条件x0,经多次试算，都能得到 设最大延迟界为d=2,取No=2,可得M arkov 与图3类似的响应曲线.这些实验验证了所建模型 链状态集={0,1,2,3}，设系统的延迟状态转移概 的合理性与所给的修正的V一K算法的有效性. 率矩阵PE己知，为： [0.20.4050.195 5结语 0.21 0.2950.3 0.30.105 对于网络诱导延迟的上界大于或小于一个采样 PE= (36) 020.3 0.30.2 周期的两种不同情况下的连续时间网络控制系统 L0.120220.38 0.28 所见文献中是分别模拟、分析与设计的.本文对于

图 2 车载倒立摆示意图 Fig.2 Cart and inverted pendulum 在此图形中, 设小车质量为 M =2 kg, 摆的质量 为 m =0.1 kg, 摆的长度为 l =0.5 m, 采样周期为 h =0.03 s .小车位置为 x , 摆的角度为 θ.令 x 1 = θ, x 2 =θ · , x 3 =x , x4 =x · , 取 y =x =x 3, 得状态 方程 : x · =Ax +Bu y =Cx +Du ( 33) 其中 x =[ x1 x 2 x 3 x 4] T .注意, 这里的 x 为 向量, 与上面的位置变量 x 不同, 而 A = 0 1 0 0 M +m Ml g 0 0 0 0 0 0 1 - m M g 0 0 0 , B = 0 - 1 Ml 0 1 M , 即 A = 0 1 0 0 20.601 0 0 0 0 0 0 1 -0.490 5 0 0 0 , B = 0 -1 0 0.5 , C =[ 0 0 1 0] , D =0 . 为求初始可行解, 应将模型( 33) 在无延迟的情 况下离散化.设其离散化形式为 : xk +1 =A1 xk +B1 uk yk =C1xk +D1 uk ( 34) 取代价泛函 J = ∑ ∞ k =0 1 2 ( x T kQxk +u T kuk ) ( 35) 其中 Q =diag( 1, 1, 1, 1) . 设最大延迟界为 d =2, 取 N 0 =2, 可得 M arkov 链状态集 θ={0, 1, 2, 3}, 设系统的延迟状态转移概 率矩阵 PE 已知, 为: PE = 0.2 0.405 0.195 0.2 0.295 0.3 0.3 0.105 0.2 0.3 0.3 0.2 0.12 0.22 0.38 0.28 ( 36) P 的初始值取为 : P0 = 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2 , P 的摄动方式依次取为: dP 1 =dP 2 =…=dP 21 = 0 0.005 -0.005 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , dP22 =dP 23 =…=dP40 = 0 0 0 0 0.005 0 0 -0.005 0 0 0 0 0 0 0 0 , dP41 =dP 42 =…=dP56 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.005 -0.005 0.005 0.005 . 经过 56 次摄动, 由初始矩阵 P 0, 变成所期望的延迟 状态转移概率矩阵 PE, 并得到保证系统均方稳定的 控制器 : K1 =[ 91.717 19.998 18.028 12.141] K2 =[ 91.723 20.054 18.016 12.089] K3 =[ 91.711 20.111 18.016 12.088] K4 =[ 91.707 20.282 17.991 11.836] ( 37) 对于任意给定的初始概率分布向量 π0, 由于延迟的 状态转移概率矩阵为 PE, 所以各个 tk 时刻的延迟 概率分布为 : πk =π0P k E, k =0, 1, 2, …L ( 38) 其中, L 为模拟控制时长.当给定初始延迟状态的 概率分布 π0 =[ 0.20 0.30 0.30 0.20] 时, 得到 的闭环系统的初始条件响应曲线如图 3 所示.改变 上述的 π0 值及初始条件 x 0, 经多次试算, 都能得到 与图 3 类似的响应曲线 .这些实验验证了所建模型 的合理性与所给的修正的 V-K 算法的有效性. 5 结语 对于网络诱导延迟的上界大于或小于一个采样 周期的两种不同情况下的连续时间网络控制系统, 所见文献中是分别模拟 、分析与设计的 .本文对于 · 1168 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷

第11期 刘磊明等：网络控制系统的一种统一的Markov跳变摸型 。1169。 3.0 0.3 2.5 0.2 20 0. .0 0.5 0.1 50 100 150 200 50 100150 200 h h (a)随机Markov延迟的分布图 (b)NCS的初始条件响应 图3带Markov延迟的NCS的初始条件响应 Fig 3 Initial condition response of NCS with Markov delays 上述两种系统经离散化与应用增广状态空间方法， Symposium on Mathematical Theory of Netw orks and Systems. 建立了统一的M arkov链离散时间跳变模型.由于 France University of Perpignan,2000:I [7 Hu Sh S,Zhu Q X.Stochastic optimal control and analysis of sta 模型含有反映系统的网络诱导延迟的大小与计算精 lilty of networked contmol systems with long delay.Automatica. 度的参数，因此它具有更广泛的适应性.它以己有 2003,39(11):1877 的同类模型为特例.模型关于控制参数仍然是线性 L图 Xiao L,Hassibi A,How J P.Control with random communica 的，这对于保持问题的凸性和选择算法很重要.实 tion deays via a discrete time jump sstems appmoach //Proceed 例计算已表明，模型的一般性与统一性的特点未给 ings of the 2000 American Control Conference.Chicago,2000: 求解保证系统均方稳定的控制参数的算法问题增加 2199 【9于之训，陈辉堂，王月娟.基于Markov延迟特性的闭环网络 本质性的困难. 控制系统研究.控制理论与应用，2002.19(2)：263 在所论及的系统的稳定性设计的V一K算法中， 10 Lin H,Zhai G,Antsaklis P J.Robust stability and disturbance 本文给出了一种求初始可行解的方法，并且把通常 attenution analysis of a chss of networed control systems 运用的解凸规划的内点法所涉及的牛顿方向用共轭 Prceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Con- 梯度方向来代替，从而使算法得到简化. trol Maui.Haw aii,2003:239 11]Beld man O V.Networked Control Systems Dissertation]. 在车载倒立摆的网络控制的模拟中，对于符合 USA:Department of Ekctrical and Computer Engineering. M arkov链的随机延迟和系统的多种不同的初始状 Duke University,2001 态，经多次试算，所得结果都能显示出系统在所给控 [12]Ji Y,Chizeck H J.Jum p linear quadratic Gaussian control: 制下是稳定的.这些实验验证了所建模型的合理性 Steady-state solution and testable conditions.Control Theory 与修正的V一K算法的有效性.该算法对于其他较 Adv Technol,1990,6(3):289 一般的线性跳变系统稳定性设计有应用价值. 13 Ji Y.Chizeck H J.Feng X.et al.Stability and control of dis cretetime jump inear systems.Control Theory Adv Technol. 参考文献 1991.7(2):247 [1]Luck R.Ray A.An observer-based compensator for distributed [14 CostaO L V.Fragoso M D.Stability results for discretetime delys.Automatica.1990,26(5):903 linear systems with Markovian jumping parameters.J Math [2]Zhang W,Branicky M S.Philips S M.Stahility of netw orked Anal Appl.1993,179(1):154 cont rol systems.IEEE Control Syst Mag.2001.21 (1):84 15 Mahmoud M,Shi P.Optim al guaranteed cost filtering for [3]Zhang W.Stability Analysis of Neworked Control Systems Dis- Markovian jump discrete-time systems.Math Problems Eng. sertation].USA:Department of Electrical Engineering and Com- 2004.20041):33 puter Science,Case Western Reserve Uriversity,2001 16 CostaO L V,Filho E O A,Boukas E K,et al Constrained [4]Nilsson J.Real-time Contml Systems w ith Delays[Dissertation]. quadratic state feedback control of discrete-time Markovian jump Sweden Department of Automatic Control,Lund Institute of linear systems.Automatica.1999.35(4):617 Technology.1998 【I刀Boyd S,E-Ghaoui L,Feron E,dal.Linear M atrix Ineqa上 [5]Nilsson J,Berrhardsson B,Wittenmark B.Stochastic analysis ties in System and Control Theory.Philadelphia:the Society for and contmol of real time systems w ith random time delys.Auto- Industrial and Applied M at hemat ics,1994 matica.1998.341):57 18]EHGhaoui L Ait-Rami M.Robust state-feedback stabilizat ion of [6]Lincoln B.Bernhardsson B.Optimal control over netw orks with jump linear systems via LM Is Int J Robust Nonlinear Control. long random dehys//Proceedings of the Fourteenth Intemational 1996.6(9/10):1015

图 3 带 Markov 延迟的 NCS 的初始条件响应 Fig.3 Initial condition response of NCS with Markov delays 上述两种系统经离散化与应用增广状态空间方法, 建立了统一的 M arkov 链离散时间跳变模型.由于 模型含有反映系统的网络诱导延迟的大小与计算精 度的参数, 因此它具有更广泛的适应性.它以已有 的同类模型为特例.模型关于控制参数仍然是线性 的, 这对于保持问题的凸性和选择算法很重要.实 例计算已表明, 模型的一般性与统一性的特点未给 求解保证系统均方稳定的控制参数的算法问题增加 本质性的困难. 在所论及的系统的稳定性设计的V-K 算法中, 本文给出了一种求初始可行解的方法, 并且把通常 运用的解凸规划的内点法所涉及的牛顿方向用共轭 梯度方向来代替, 从而使算法得到简化 . 在车载倒立摆的网络控制的模拟中, 对于符合 M arkov 链的随机延迟和系统的多种不同的初始状 态, 经多次试算, 所得结果都能显示出系统在所给控 制下是稳定的.这些实验验证了所建模型的合理性 与修正的 V-K 算法的有效性 .该算法对于其他较 一般的线性跳变系统稳定性设计有应用价值 . 参 考 文 献 [ 1] Luck R, Ray A .An observer-based compensator for distribut ed delays.Automatica, 1990, 26( 5) :903 [ 2] Zhang W, Branicky M S , Phillips S M .S tabilit y of netw orked control systems.IEEE Control Syst Mag, 2001, 21 ( 1) :84 [ 3] Zhang W .St ability Analysis of Networked Control S ystems [ Dis￾sert ation] .USA :Department of Electrical Engineering and Com￾puter S cience, Case Western Reserve Uni versit y, 2001 [ 4] Nilsson J.Real-time Control Syst ems w ith Delays[ Dissert ation] . Sw eden:Department of Au tomati c Control, Lund Institute of Technology, 1998 [ 5] Nilsson J, Bernhardsson B, Wittenmark B.S tochastic analysis and control of real-time systems w ith random time delays.Auto￾matica, 1998, 34( 1) :57 [ 6] Lincoln B, Bernhardsson B .Optimal control over netw orks with long random delays∥Proceedings of the Fourteenth International Symposium on Mathematical Theory of Netw orks and Systems. France:University of Perpignan, 2000:1 [ 7] Hu Sh S , Zhu Q X.St ochasti c optimal control and analysis of sta￾bility of netw orked control syst ems w ith long delay .Automatica, 2003, 39( 11) :1877 [ 8] Xiao L, Hassibi A, How J P .C ontrol w ith random communica￾tion delays via a discrete time jump syst ems approach ∥Proceed￾ings of the 2000 American Con trol Conf erence .Chicago, 2000: 2199 [ 9] 于之训, 陈辉堂, 王月娟.基于 Markov 延迟特性的闭环网络 控制系统研究.控制理论与应用, 2002, 19( 2) :263 [ 10] Lin H, Zhai G, Antsaklis P J.Robust stabilit y and disturbance attenuation analysis of a class of netw orked control system s ∥ Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Con￾trol Maui .Haw aii, 2003:239 [ 11] Beldiman O V .Networked Control Systems [ Dissertation] . USA :Department of Electrical and Computer Engineering, Duke University, 2001 [ 12] Ji Y, Chizeck H J.Jum p linear quadratic Gaussian control: St eady-state solution and testable conditions.Control Theory Adv Technol, 1990, 6( 3) :289 [ 13] Ji Y, Chizeck H J, Feng X, et al.S tabilit y and control of dis￾cret e-time jump linear syst ems.Control Theory Adv Technol, 1991, 7( 2) :247 [ 14] Cost a O L V, Fragoso M D.S tabilit y results for discret e-time linear systems w ith Markovian jumping parameters.J Math Anal Appl, 1993, 179(1) :154 [ 15] Mahmoud M, Shi P .Optim al guarant eed cost filtering for Markovian jump discret e-time systems.Math Problems Eng, 2004, 2004( 1) :33 [ 16] Cost a O L V, Filho E O A, Boukas E K, et al.Constrained quadratic st ate f eedback control of discrete-time Markovian jump linear systems.Automatica, 1999, 35( 4) :617 [ 17] Boyd S, El-Ghaoui L, Feron E, et al.Linear M atrix Inequali￾ties in Syst em and Control Theory .Philadelphia :the S ociety for Industrial and Applied M athematics, 1994 [ 18] El-Ghaoui L, Ait-Rami M .Robust st at e-feedback st abilization of jump linear systems via LM Is.Int J Robust Nonlinear Control, 1996, 6( 9/ 10) :1015 第 11 期 刘磊明等:网络控制系统的一种统一的 Markov 跳变模型 · 1169 ·

。1170· 北京科技大学学报 第29卷 Uniform Markovian jump model of netw orked control systems LIU Leiming,TONG Chaonan Irfomation Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beiing 100083,China ABSTRACI For the two different cases that the upper bound of network-induced delays is longer or less than one sampling period in a continuous-time netw orked control system (NCS),by discretizing the model of a con- tinuous-time system and applying the augmented state-space method to the model,a unifom discrete-time jump model governed by Markov chains was presented.The parameters of the model reflected both the length of the delays and computation precision,so this model had more widely adaptability.The existing theory of a jump lin- ear system was applied to analysis the necessary and sufficient conditions guaranteeing the sy stem's stability.An interior-point algorithm was applied to design stabilizing controllers,and an approach to get the feasible initial solution of the interior-point algorithm was proposed.This improved algorithm stated above was applied effec- tively to the netw orked control and design of a cart and inverted pendulum with random delays. KEY WORDS networked control system;delay;jump system;Markov chain:discretization;augmented state-space method (上接第1153页) [8 CapinteriA.Pugno N.A multifractal comminution approach for drilling scaling hws.Powder Technol.2003.131(1):93 [5]Feder J.Fractals.New York:Plenum Press,1988 9 Borodich F M.Some fractal models of fracture.J Mech Phys 【6杨志远，周安宁，曲建林.超细煤粉的颗粒分布分形与球磨工 Solids.1997.45(2):230 艺关系研究.煤炭科学技术，2004,32(1)：32 [10 Perfect E.Fractal models for the frgmentation of rocks and [7]Turcotte D L.Fractalsand fragmentation.J Geophys Res,1986. soils:a review.Eng Geol.1997,48:185 91(B2):1921 【1川张济忠.分形.北京：清华大学出版社，1995 Fractal model for particle-size distribution of coal grinding JIAO Honglei,XIA Dehong,ZHANG Shengxian,CHEN Yong Mechanical Engineering School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT By the fractal method,mathematical models for particle number variation,particle surface area profile and particle mass dist ribution were established to predict and control the particle-size distribution of coal grinding at any grinding time.The particle number variat ion can be used to describe the main range of particle diameter.The surface area profile can be used to predict the energy consumption in grinding process.The parti cle mass dist ribution could be used to calculate the specific stacking density of particles or the surry concentra- tion.These models were proved to be valid by comparison of the fractal particle-size distribution with practical measurement. KEY WORDS coal;grinding;particle-size distribution model;fractal

Uniform Markovian jump model of netw orked control systems LIU Leiming, TONG Chaonan Inf ormation Engineering School, Universit y of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China ABSTRACT Fo r the tw o different cases that the upper bound of netwo rk-induced delays is longer or less than one sampling period in a continuous-time netw orked control system ( NCS) , by discretizing the model of a con￾tinuous-time system and applying the augmented state-space method to the model, a unifo rm discrete-time jump model governed by Markov chains w as presented .The parameters of the model reflected both the leng th of the delay s and computatio n precision, so this model had more w idely adaptability .The existing theory of a jump lin￾ear sy stem w as applied to analysis the necessary and sufficient conditio ns guaranteeing the sy stem' s stability .An interior-point algo rithm was applied to design stabilizing controllers, and an approach to get the feasible initial solution of the interior-point algorithm was proposed .This improved algorithm stated above w as applied effec￾tively to the netw orked control and design of a cart and inverted pendulum w ith random delay s . KEY WORDS networked control system ;delay ;jump sy stem ;Markov chain ;discretization ;augmented state-space method ( 上接第 1153 页) [ 5] Feder J.Fractals.New York:Plenum Press, 1988 [ 6] 杨志远, 周安宁, 曲建林.超细煤粉的颗粒分布分形与球磨工 艺关系研究.煤炭科学技术, 2004, 32( 1) :32 [ 7] Turcotte D L .Fractals and fragmentation.J Geophys Res, 1986, 91 ( B2) :1921 [ 8] Capinteri A, Pugno N .A multi-fract al comminution approach for drilling scaling laws.Powder Technol, 2003, 131( 1) :93 [ 9] Borodich F M .Some fractal models of fracture.J Mech Phys Solids, 1997, 45( 2) :230 [ 10] Perfect E .Fract al models for the fragmentation of rock s and soils:a review .Eng Geol, 1997, 48:185 [ 11] 张济忠.分形.北京:清华大学出版社, 1995 Fractal model for particle-size distribution of coal g rinding J IAO Honglei, X IA Dehong, ZHANG Shengxian, CHEN Yong Mechanical Engineering School, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China ABSTRACT By the fractal method, mathematical models for particle number variation, particle surface area profile and particle mass distribution were established to predict and control the particle-size distribution of coal g rinding at any grinding time .The particle number variation can be used to describe the main range of particle diameter.The surface area profile can be used to predict the energy consumption in grinding process .The parti￾cle mass distribution could be used to calculate the specific stacking density of particles or the slurry concentra￾tion .These models were proved to be valid by comparison of the fractal particle-size distributio n with practical measurement . KEY WORDS coal ;g rinding ;particle-size distribution model ;fractal · 1170 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 29 卷