一种新的混沌识别方法(Ⅱ)

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1999.03.023 第21卷第3期 北京科技大学学报 Vol.21 No.3 1999年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1999 一种新的混沌识别方法D 李擎郑德玲曾永生 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要针对G-P算法及其改进算法的不足，提出了一种新的改进算法.应用该算法不仅能简 化无标度区的确定过程，而且能客观地判断系统的关联维数是否饱和，从而对随机信号和混沌 信号加以识别.对新的G-P改进算法进一步分析表明：新的G-P改进算法适用范围广泛，对于 混沌信号的识别很有效. 关键词混沌识别：G-P算法：无标度区 分类号TP18 作者在文献[I]中提出的新的G-P改进算法 dx =-ox+ay 有下面特点：()新的G-P改进算法使无标度区 的计算具有了一定程度的客观性，改进了GP =rx-y-x2 (1) 算法存在的主观性：(2)如果lnC(r)一nr图中 dz 有M条曲线，每条曲线由N个点组成，那么以 di=xy-bz 往的改进算法需要进行MN-3)N-2)2次直线 当0=10，r=28.0,b=8/3时，方程代表的是 拟合运算，而新的G-P改进算法仅需要进行MN 一个混沌系统.当初始值取为(0,1,0)，步长 次直线拟合运算，大大减小了确定无标度区的 h=0.01,采用4阶Runge-Kutta法产生一混沌时 计算量：(3)新的G-P改进算法将lnC(r)一lnr 间序列为k)(k=1001,1002,…,3000). 图中各曲线的线性段统一到相同的计算区间， 应用该时间序列，取M=30,t=5△1，经过新 这有利于关联维D(m,)的计算及其是否饱和的 的G-P改进算法得出的D(m,)值如表1所示. 判定：(4)无标度区中各点的相关系数 由表1可以看到：当m,≥10时，D(m)趋近 R(m,)≥0.90，说明无标度区中各点拟合的结果比 于饱和值D2=1.64±0.03. 较理想. 表1 Lorenz系统的关联维数(Uy变量，M=30,r=5△， 经过多次试验，我们发现：所用的重构变 N=-2000) 量、时间序列长度N、最大嵌入维数M以及时间 m23456789 延迟x对D(m,)的饱和值都有不同程度的影响. Dm)1.3741.4391.5371.5631.5651.5851.6041.584 本文对次作进一步讨论. R(m)0.9380.9540.9670.9520.9360.9290.9340.950 m41011121314151617 1对新的G-P改进算法的讨论 Dm)1.6351.6141.6281.6331.6461.6301.6391.622 Rm）0.9520.9600.9310.9220.9270.9360.9430.952 11所用的重构变量对计算结果的影响 m,1819202122232425 Dm)1.6391.6221.6381.6211.6321.6511.6411.630 对于一个系统而言，无论采用系统中哪个 Rm)0.9430.9570.9540.9250.9240.9270.9480.955 变量，它对系统是否混沌进行识别，其结果应该 m26272829.30 是一致的，否则将难以对识别结果进行解释，以 D(m)1.6211.6661.6551.6461.629 Lorenz系统为例加以分析.在文献[1]中，重构相 Rm)0.9620.9580.9430.9530.944 空间时使用的是Lorenz系统中的x变量.这里 当采用z变量计算Lorenz系统的关联维数 采用Lorenz系统中的y变量计算该系统的关联 时（计算条件同x,y变量），经过新的G-P改进算 维数.Lorenz方程如下式所示： 法得出的D(m,)值如表2所示. 1998-12-11收稿李警男，27岁，博士生 由表2可以看出：当m,≥7时，D(m)趋近于 国家自然科学基金资助课题(N0.69772014)

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ’ 一 种 新 的 混 沌 识 别 方 法 李 擎 郑德玲 曾永生 北京科技大学信息工程学院 ， 北京 摘 要 针 对 一 算 法 及其 改进算法 的不足 ， 提 出 了一种 新 的改进算法 应 用 该算法 不 仅 能简 化无标度区 的确定过程 ， 而 且 能客观地判断系统 的关联维数是否饱和 ， 从而对 随机信 号和 混沌 信号 加 以识 别 对 新 的 一 改进算法进一 步分析表明 新的 一 改进算法适用 范 围广 泛 ， 对 于 混沌信号 的识别 很有 效 关键 词 混沌 识 别 一 算法 无标度 区 分 类号 作者 在 文献 【 中提 出 的新 的 一 改进算法 有 下 面特 点 新 的 一 改进算法 使无 标度 区 的计 算 具 有 了一 定程度 的客观性 ， 改进 了 一 算法存在 的主 观性 如 果 一 图 中 有 条 曲线 ， 每条 曲线 由 个 点组 成 ， 那 么 以 往 的改进算 法 需要进行 械刃一 一 次直线 拟 合运算 ， 而 新 的 一 改进算法仅 需要进行 叼卿 次直 线拟 合 运算 ， 大 大减 小 了确 定无 标 度 区 的 计 算 量 新 的 一 改进 算 法将 一 图 中各 曲线 的线性 段 统 一 到 相 同 的计 算 区 间 ， 这有 利 于 关 联 维 〕 的计 算及 其 是 否 饱和 的 判 定 无 标 度 区 中 各 点 的 相 关 系 数 〕 之 ， 说 明无标度 区 中各 点拟合 的结果 比 较理 想 经过 多 次试验 ， 我们 发现 所 用 的 重 构变 量 、 时 间序列 长度 、 最 大 嵌入 维 数 以及 时 间 延 迟 对 〕 的饱和 值都 有 不 同程 度 的影 响 本文 对 次作进 一 步 讨论 一 口 一 一 二 夕 一 对 新 的 一 改进 算法 的讨论 所 用 的重构 变 量 对 计 算结果 的 影响 对 于 一 个 系统 而 言 ， 无 论 采用 系统 中哪 个 变量 ， 它对系统是 否 混沌进行 识别 ， 其结果应 该 是一致 的 ， 否 则将难 以对 识 别 结 果 进行解 释 以 系统 为例加 以分析 在文献 【 中 ， 重 构相 空 间 时使 用 的 是 系 统 中的 变 量 这 里 采用 系统 中 的 变量 计 算该 系统 的关联 维 数 方程 如下 式所 示 一 一 收稿 李擎 男 ， 岁 ， 博士 生 申 国家 自然科学基 金 资助课题 众 当 。 二 ， ， 时 ， 方 程 代 表 的是 一 个 混 沌 系 统 当初 始 值 取 为 ， ， ， 步长 二 ， 采 用 阶 法产 生 一 混沌 时 间序列 为 ， ，… ， 应 用 该 时 间序列 ， 取 ， 二 △ ， 经 过 新 的 一 改进 算法 得 出 的 〕值如 表 所示 由表 可 以看到 当 ， 之 时 ， 〕 趋 近 于 饱和 值 二 士 表 系 统 的 关 联 维 数 守 变 量 ，衬二 ， 夕 ， 八性 丑互塑 卫』旦旦丛丝生鱼旦丛匕业互卫 二丝旦丛旦里旦』二些生卫逻些 ‘ ‘ 丑恤走型遐 鱼丝里翌塑口塑丝四哩 ‘ ‘ 班丛 卫逻些业终里些上丝丝尘型卫丝业业丛些坠 苦 ， · · · 』盛些 — 当采用 变量计 算 系统 的关联 维数 时 计 算条件 同 ， 变量 ， 经 过新 的 一 改进算 法 得 出 的 〕值如表 所示 由表 可 以看 出 当 ， 之 时 ， 〕 趋近 于 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1999．03．023

VoL21 No.3 李擎等：一种新的混沌识别方法（Ⅱ） ·299· 表2 Lorenz系统的关联维数(z变量，M-30,r=5△， 表3L0renz系统的关联维数(x变量，M-30,r=5△M,N=500) N=2000) m,23456789 m23456789 Dm,)1.1071.2201.2181.3541.3931.4431.4681.465 D(m)1.4651.5211.6161.6521.6961.7201.7371.765 Rm)0.9470.9520.9610.9480.9590.9620.9480.950 Rm)0.9280.9340.9430.9510.9480.9390.9400.954 m,1011121314151617 m41011121314151617 Dm)1.4841.5171.5001.4801.5171.5031.4861.523 Dm)1.7511.7491.7561.7311.7451.7441.7361.714 Rm)0.9530.9570.9490.9510.9400.9320.9360.948 Rm)0.9600.9590.9520.9460.9300.9320.9410.952 m1819202122232425 m,1819202122232425 Dm,)1.5071.4891.4871.4711.4991.4861.4851.482 Dm)1.7451.7341.7261.7581.7491.7441.7401.733 R(m)0.9510.9530.9470.9580.9540.9520.9480.951 Rm0.9570.9480.9460.9520.9370.9350.9440.953 m.2627282930 m,2627282930 Dm,)1.4701.4791.4741.4701.483 D(m)1.7701.7661.7501.7291734 R(m)0.9390.9460.9510.9450.953 Rm0.9520.9490.9360.9410.937 表4不同时间序列下Lorenz系统的关联维数(x变量， 饱和值D2=1.74±0.03. M=30,x=5△0 由此可以得出结论：一个混沌系统，当用不 N 500 1000 1500 2000 2500 同的变量对系统进行相空间重构时，所得到的 D21.50±0.031.68±0.031.71±0.031.71±0.031.64±0.03 D(m)都趋近于饱和（尽管不同变量的饱和值有 N30003500400045005000 D21.810.031.76±0.031.690.031.740.031.670.03 所不同).因此，当对一个系统（信号）是否混沌 进行识别时，无论采用系统中的哪个变量，都不 必须满足GP算法对时间序列长度的要求)不 会影响识别结果， 会影响混沌系统（信号）的识别. 12时间序列长度对计算结果的影响 13延迟时间对计算结果的影响 Grassberg提出G-P算法时曾经提到，：重构 在文献[1]中，所采用的延迟时间x=5△t.下 相空间的时间序列长度应为10~10（其中 面对不同延迟时间下Lorenz系统的关联维数进 D,称为分维数或Hausdorff维数，Lorenz系统的 行计算. 分维数约为20)，否则将难以保证算法的正确 Lorenz方程如(1)式所示，当o=10,r=28.0, 性.照此，在计算Lorenz系统的关联维数时，所 b=83时，方程代表的是一个混沌系统.当初始 采用的时间序列长度不得小于100. 值取为(0,1,0)，步长h=0.01,采用4阶Runge- 在文献[1]中，采用的时间序列长度N= Kua法产生一混沌时间序列x(k)(K=1001,1002, 2000.下面对不同时间序列长度下Lorenz系统 …3000). 的关联维数进行计算. 应用该时间序列，取M=30,x=△1，经过新的 Lorenz方程如式(1)所示，当o=10,r=28.0, G-P改进算法得出的D(m)值如表5所示. b=8/3时，方程代表的是一个混沌系统.当初始 由表5可以看出：当m:≥15时，D(m,)趋近于 值取为(0,1,0)，步长h=0.01,采用4阶Runge- 饱和值D2=1.75±0.03.当延迟时间τ取其他值 Kutta法产生一混沌时间序列x(k)(k=1001, 时，D(m)同样达到饱和，具体计算过程不再一 1002,…,1500) 表5 Lorenz系统的关联维数(e变量，M=30,r=△， 应用该时间序列，取M=30,x=5△1，经过新 W=2000) 的G-P改进算法得出的D(m)值如表3所示. m,23456789 由表3可以看到：当m,≥10时，D(m)趋近于 D(m,)1.2071.3621.4531.5341.5821.6011.6261.639 饱和值D2=1.50±0.03.当时间序列长度取其他 Rm)0.9650.9720.9530.9810.9770.9690.9840.975 值时，D(m)同样达到饱和，具体计算过程不再 m1011121314151617 D(m,)1.6761.6871.6951.7061.7141.7201.7241.746 一一列出.当采用x变量时，不同时间序列长度 Rm)0.9740.9600.9380.9570.9140.9470.9880.986 下Lorenz系统的关联维数如表4所示. m.1819202122232425 由此可以得出结论：一个混沌系统，采用不 Dm,)1.7701.7721.7661.7641.7601.7531.7461.738 同的时间序列长度对系统进行相空间重构，不 Rm)0.9670.9710.9530.9470.9530.9370.9450.932 m,2627282930 会影响D(m)的饱和性（尽管不同时间序列长度 D(m,)1.7281.7151.7131.7481.732 的饱和值有所不同)，因此，时间序列的长度（它 R(m)0.9390.9500.9640.9710.938

李擎等 一种新的混沌识别方法 表 系 统 的 关 联 维 数 变 量 ，材二 ， △， 刊‘ 功 ‘ 州从〕 〕 附 ‘ 留吕吕吕留吕吕留吕留留告二吕二留二 二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二 二二二二二二二二二二二二二二二二二 ‘ 仄 〕 二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二 理丛 · 坏 饱和值 众 士 由此可 以得 出结论 一个混沌系统 ， 当用 不 同 的变量对系统进行 相 空 间重构 时 ， 所 得到 的 都趋近于饱和 尽 管不 同变量 的饱和 值有 所不 同 因此 ， 当对一个 系统 信号 是 否 混沌 进行识别时 ， 无论采用 系统 中的哪个变量 ， 都不 会影 响识 别结果 时间序列 长度对 计 算结 果 的影 响 吧 提 出 一 算法 时 曾经提到 ‘ ， 重 构 相 空 间 的 时 间序 列 长 度 应 为 沪 一 姗 ， 其 中 称为 分维数或 了维数 ， 系统 的 分维数约 为 ， 否 则将难 以保证 算法 的正 确 性 照 此 ， 在计算 系统 的关联维数 时 ， 所 采用 的 时间序列长度不 得小于 在文献 〔 中 ， 采用 的时 间序列 长 度 二 下 面对 不 同时 间序列长 度 下 系统 的关 联维 数进行 计 算 方 程 如 式 所 示 ， 当 。 ， ， 时 ， 方程 代表 的是 一 个 混 沌 系统 当初 始 值取 为 ， ， ， 步 长 二 ， 采 用 阶 法 产 生 一 混 沌 时 间 序 列 ， ，… ， 应用 该 时 间序 列 ， 取 ， 二 △ ， 经 过 新 的 一 改进算法 得 出的 〕值 如 表 所 示 由表 可 以看到 当 之 时 ， 〕 趋近于 饱和 值 士 当时 间序列 长 度 取 其他 值 时 ， 〕 同样 达 到 饱和 ， 具 体计 算过 程 不 再 一 一 列 出 当采用 变 量 时 ， 不 同 时 间序列 长度 下 系统 的关 联维 数 如表 所 示 由此可 以得 出结论 一 个混沌 系统 ， 采用 不 同 的时 间序列 长度对 系 统进 行相 空 间重 构 ， 不 会影 响 〕 的饱和 性 尽 管不 同 时 间序列 长度 的饱和值有所 不 同 ， 因此 ， 时 间序列 的长 度 它 表 系统 的关联维数 变量 ， 用卜 ， 巧山户件 ‘ ‘ ‘ ‘ 们 〕 表 不 同 时 间序 列 下 系统 的关联维数 变 量 ， 用卜 ，二 书幼 众 肚 肚 士 均 翻士 从 士 肚 士 士 士 必 须满足 一 算法对 时间序列 长 度 的要 求 不 会影 响混沌 系统 信号 的识 别 延 迟 时 间对计 算结 果 的影 响 在文献【 中 ， 所采用 的延迟 时 间 △ 下 面 对不 同延迟 时 间下 系 统 的关 联维 数进 行计算 方程如 式 所示 ， 当。 ， ， 二 时 ， 方 程代表 的是 一 个混 沌 系统 当初 始 值取 为 ， ， ， 步长 二 ， 采用 阶 法 产 生 一 混沌 时 间序列 ， ， … 应用 该时 间序列 ， 取 ， 二 △ ， 经 过新 的 一 改进算法 得 出 的 〕 值如 表 所 示 由表 可 以看 出 当 ‘ 之 巧 时 ， 〕 趋近于 饱 和 值 从 士 当延 迟 时 间 取 其 他值 时 ， 同样 达 到饱和 ， 具 体 计 算 过程 不 再 一 、酬塑 、酬 表 邝 系 统 的 关 联 维 数 变 量 ，对‘ ， 鱿 刀‘ ， ， 兮 ‘ ， ， 脚‘

·300· 北京科技大学学报 1999年第3期 一列出.当采用x变量时，不同延迟时间t下Lor- 饱和值D2=1.99±0.03.当最大嵌入维数M取其 enz系统的关联维数如表6所示. 它值时，D(m,)同样达到饱和，具体计算过程不 表6不同延迟时间下Lorenz系统的关联维数(x变量， 再一一列出.当采用x变量时，不同最大嵌入维 M=30,N=2000) 数M下Lorenz系统的关联维数如表8所示. △ 2△ 3△ 4△1 5At 表8不同最大嵌入维数下Lorenz系统的关联维数(x变 D21.75±0.031.68±0.031.97±0.031.63±0.031.71±0.03 量，x=5,N=2000) T 6At 7At 8△t 9△t 10△r M 20 30 40 50 60 D31.50±0.031.74±0.031.69±0.031.7240.031.61±0.03 D21.99±0.031.74±0.031.83±0.031.72±0.031.63±0.03 由此得出结论：一个混沌系统，采用不同的 M 70 80 90 100 延迟时间对系统进行相空间重构，不会影响 D21.50±0.031.74±0.031.69±0.031.72±0.03 D(m)的饱和性（尽管不同延迟时间对应的饱和 由此得出结论：一个混沌系统，采用不同的 值有所不同)，因此，延迟时间不会影响混沌系 最大嵌入维数（最大嵌入维数一般不小于20）， 统（信号）的识别. 不会影响D(m)的饱和性（尽管不同最大嵌入维 1.4最大嵌入维数M对D(m)计算结果的影响 数对应的饱和值有所不同)，因此，最大嵌入维 在文献[1]中，采用的最大嵌入维数M=30. 数不会影响混沌系统（信号）的识别. 下面对不同最大嵌入维数下Lorenz系统的关联 维数进行计算. 2结论 Lorenz方程如(1)式所示，当o=10,y=28.0, (1)新的G-P改进算法应满足以下2个使用 b=83时，方程所代表是一个混沌系统.当初始 条件：时间序列长度满足重构相空间时对样 值取为(0,1,0)，步长h=0.01,采用4阶Runge- 本个数的要求：最大嵌入维数M不能太小， Kuta法产生一混沌时间序列x(k)(k=1001,1 (2)在应用新的G-P改进算法进行混沌信号 002,…,3000). 的识别时，可以不考虑所用重构变量、时间序列 应用该时间序列，取M=20,t=5△1，经过新 长度N、最大嵌入维数M以及时间延迟x等因素. 的G-P改进算法得出的D(m)值如表7所示， (3)新的G-P改进算法在满足使用条件的前 由表7可以看出：当m,≥11时，D(m,)趋近于 提下，其适用范围非常广泛，对于混沌信号的识 表7 Lorenz系统的关联维数(c变量，M-20,r=5△， 别非常有效， N-2000) m,23456789 参考文献 D(m)1.8691.9151.9221.9241.9351.9501.9421.977 R(m)0.9450.9570.9430.9510.9630.9240.9290.940 1李擎，郑德玲，赵星浩，等.一种新的混沌识别方法 m,1011121314151617 (①.北京科技大学学报，1999,21(2)：198 D(m,)1.9521.9621.9861.9921.9881.822.0001.999 2仪垂样编著.非线性科学及其在地学中的应用.北 R(m)0.9380.9420.9270.9460.9380.9420.9210.934 京：气象出版社，1995 m181920 3 Grassberger P,Procaccia I.Dimension and Entropy of Dm,)2.0191.9962.011 Strange Attractors from a Fluctuaing Dynamics Ap- R(m,)0.9500.9370.932 proach.Physica,1984,13D:34 A New Identification Method for Chaos(II) Li Oing,Zheng Deling,Zeng Yongsheng Information Engineering School,UST Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT In order to overcome the shortcoming of the G-P algorithm and its improved form,a new im- proved algorithm has been proposed.When the new algorithm is used,the determination of the no-scale inter- val is simplified and the judgement for the saturation of the correlation dimension is realized objectively.It is very efficient for the identification of chaotic signal.Based on the new G-P algorithm,further discussion and analysis about the new G-P algorithm is carried out.The simulation results show that the applicable range of the new algorithm is very wide. KEY WORDS identification for chaos;G-P algorithm;no-scale interval

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 一 列 出 当采用 变量 时 ， 不 同延 迟 时间 下 系统 的关 联维 数如 表 所 示 表 不 同 延 迟 时间下 系统 的 关联维 数 变量 ， 衬‘ 六帐 △ △ △ △ 夕 士 士 士 士 士 丁 △ △ △ △ 士 士 见 士 土 由此得 出结论 一 个混沌 系统 ， 采用 不 同的 延 迟 时 间对 系统 进 行 相 空 间 重 构 ， 不 会 影 响 的饱和 性 尽管不伺 延迟 时间对 应 的饱和 值有所 不 同 ， 因此 ， 延 迟 时 间不 会影 响混 沌系 统 信 号 的识 别 最 大 嵌 入 维数 材对 〕计 算结 果 的 影 响 在 文 献 【 中 ， 采用 的最 大 嵌入 维 数 下 面对 不 同最 大 嵌 入 维数 下 系统 的关联 维 数进行 计算 方 程 如 式 所 示 ， 当 ， ， 一 时 ， 方程所 代表 是 一 个 混 沌 系统 当初始 值取 为 ， ， ， 步 长 ， 采 用 阶 法 产 生 一 混 沌 时 间 序 列 一 ， ，… ， 应 用 该 时 间序 列 ， 取 ， △ ， 经 过 新 的 一 改进算法得 出 的 〕 值 如 表 所 示 由表 可 以看 出 当 ‘ 全 时 ， 〕趋 近 于 表 系 统 的 关 联 维 数 变 量 ，材二 ， 鱿 刀二 〕 阴‘ 〕 〕 饱 和 值 士 当最 大嵌入 维 数材取 其 它 值 时 ， 〕 同样 达 到饱 和 ， 具 体 计 算过程 不 再 一 一 列 出 当采用 变 量 时 ， 不 同最 大嵌 入 维 数 材下 系 统 的关 联 维 数 如 表 所 示 表 不 同最 大 嵌 入维数 下 系统 的 关联维数 变 量 ， 山户传 刀 处 士 士 土 均 众 肚 均 处 均 由此得 出结论 一个混沌系统 ， 采用 不 同 的 最 大嵌入维 数 最 大 嵌入维数 一般不 小 于 ， 不 会影 响 侧 的饱和 性 尽管不 同最大嵌入维 数对应 的饱和 值有 所不 同 ， 因此 ， 最大嵌入维 数 不 会影 响混沌系统 信 号 的识 别 结论 新 的 一 改进算法 应满足 以下 个使用 条件 时 间序 列长度 满 足重 构相 空 间 时对 样 本个 数 的要 求 最 大 嵌 入维 数材不 能 太 小 在 应 用新 的 一 改进 算法进行 混沌信号 的识别 时 ， 可 以不 考 虑 所 用 重 构 变量 、 时 间序列 长 度 、 最 大 嵌 入 维 数 以及 时 间 延 迟 等 因素 新 的 一 改进 算法 在满 足 使用 条件 的前 提 下 ， 其适用 范 围非 常 广 泛 ， 对 于 混沌信 号 的识 别非 常 有 效 参 考 文 献 李擎 ， 郑 德玲 ， 赵 星 浩 ， 等 一种 新 的混沌识别方法 北 京科技 大 学 学 报 ， ， 仪垂 祥 编 著 非线 性科 学 及 其在地 学 中的应用 北 京 气象 出版社 ， 飞 ， 叹 ， ， 功 ，， ， ， 一 ， 而 ， 一 而 理 一 ， 加哎 一 诵 找 一 知 一