《数学分析(1,2,3)》教案 第九章数项级数 §1预备知识:上极限和下极限 对于一个有界数列{an},去掉他的最初k项以后,剩下来的依旧是一个有界数列,记 B=sup{a12ak2…} ak+, ak 显然,数列{}是单调减少的,{a}是单调增加的,所以这两个数列的极限存在。称{B}的极 限是{an}的上极限,设它为H。称{a}的极限是{an}的下极限,设它为h。记为 H=lim h=lim a 显然:h≤H 定理1设 Im a 则(i)当H为有限时,对于H的任何E邻域(H-E,H+E),在数列{an}中有无穷多个项属于 这个邻域,而在(H+E,+∞)只有有限多个项。 (i)当H=+∞时,对任何数N>0,在{an}中波有无穷多项大于N。 (ⅲ)当H=-∞时,数列{an}以-为极限。 定理2设 h=lim a 则(i)当h为有限时,对于H的任何E邻域(h-E,h+E),在数列{an}中有无穷多个项属于这个 邻域,而在(一0,h-)只有有限多个项。 (i)当h=-时,对任何数N>0,在{an}中波有无穷多项小于-N。 (ⅲ)当h=+∞时,数列{an}以+为极限 定理3设H为{an}的上极限,那么,H必是{a}中所有收敛子列的极限中的最大值。设h为 an}的下极限,那么,h必是{an}中所有收敛子列的极限中的最小值。 9-1《数学分析（1，2，3）》教案 9-1 第九章 数 项 级 数 §1 预备知识：上极限和下极限 对于一个有界数列 an ，去掉他的最初 k 项以后，剩下来的依旧是一个有界数列，记     1 2 1 2 sup , , , inf , , . k k k k k k a a a a   + + + + = = 显然，数列 k 是单调减少的， k 是单调增加的，所以这两个数列的极限存在。称 k 的极 限是 an 的上极限，设它为 H 。称 k 的极限是 an 的下极限，设它为 h 。记为 lim , lim . n n n n H a H a − → − → = = 显然： h H 。 定理 1 设 lim n n H a − → = 则（i）当 H 为有限时，对于 H 的任何  邻域 (H H − +   , ) ，在数列 an 中有无穷多个项属于 这个邻域，而在 (H + +  , ) 只有有限多个项。 （ii）当 H = + 时，对任何数 N  0 ，在 an 中波有无穷多项大于 N 。 （iii）当 H = − 时，数列 an 以 − 为极限。 定理 2 设 lim n n h a −− → = 则（i）当 h 为有限时，对于 H 的任何  邻域 (h h − +   , ) ，在数列 an 中有无穷多个项属于这个 邻域，而在 (− − , h  ) 只有有限多个项。 （ii）当 h = − 时，对任何数 N  0 ，在 an 中波有无穷多项小于−N 。 （iii）当 h = + 时，数列 an 以 + 为极限。 定理 3 设 H 为 an 的上极限，那么， H 必是 an 中所有收敛子列的极限中的最大值。设 h 为 an 的下极限，那么， h 必是 an 中所有收敛子列的极限中的最小值