《数学分析(1,2,3)》教案 推论1 lim a=A的充分必要条件为 lim a =lim a = a 例:设an=n+(-1)",求它的上下极限。 例:设an=cos",求它的上下极限。 §2级数的收敛性及其基本性质 级数概念 在初等数学中,我们知道:任意有限个实数a4,2…,ln相加,其结果仍是一个实数,在本章将讨论一 一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如 111 +-+-+…+一+ 从直观上可知,其和为1。 2222 又如,1+(-1)+1+(-1)+…。 其和无意义 若将其改写为:(1-1)+(1-1)+(1-1)+… 则其和为:0: 若写为: 1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+ 则和为:1。(其结果完全不同) 问题:无限多个实数相加是否存在和 如果存在,和等于什么 定义1给定一个数列{an},将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 l1+l2+l2 (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中un称为级数(1)的通项。级数记为:∑Un 级数的收敛性 记Sn=∑4=l1+2+…+un,称之为级数∑un的前n项部分和,简称部分和。 定义2若数项级数∑n的部分和数列{Sn}收敛于S(即mSn=S,则称数项级数∑n收敛,记作 ln=l1+12+a2+……+l 9-2《数学分析（1，2，3）》教案 9-2 推论 1 lim n n a A → = 的充分必要条件为 lim lim n n n n a a A − −− → → = = 。 例：设 ( 1) n n a n = + − ，求它的上下极限。 例：设 cos 4 n n a  = ，求它的上下极限。 §2 级数的收敛性及其基本性质 一 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数 u u un , , , 1 2  相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论— —无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 + + ++ n + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 从直观上可知，其和为 1。 又如， 1+ (−1) +1+ (−1) +。 其和无意义； 若将其改写为： (1−1) + (1−1) + (1−1) + 则其和为：0； 若写为： 1+[(−1) +1] +[(−1) +1] + 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义 1 给定一个数列 un  ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中 n u 称为级数（1）的通项。级数记为：   n=1 n u 。 二 级数的收敛性 记 n n k Sn = uk = u + u + + u = 1 2  1 ，称之为级数   n=1 n u 的前 n 项部分和，简称部分和。 定义 2 若数项级数   n=1 n u 的部分和数列 Sn  收敛于 S （即 Sn S n = → lim ），则称数项级数   n=1 n u 收敛 ，记作 S =   n=1 n u = u1 + u2 + u3 ++ un +