《数学分析(1,2,3)》教案 若部分和数列Sn}发散,则称数项级数∑un发散。当级数收敛时,又称 =S-S=> k=n+1 为级数的余和 注:无穷级数的收敛问题,实质上是部分和数列的收敛问题 例:试讨论等比级数(几何级数) a+ag t a≠ 的收敛性。 例:讨论级数 1·22·33.4 n(n+1) 的收敛性 收敛级数的性质 性质1若级数∑un都有收敛,则对任意常数a,级数∑an也收敛,且 au =a uln 性质2若级数∑un与∑vn都有收敛,则级数∑(un+vn)也收敛,且 即对于收敛级数来说,交换律和结合律成立 性质3在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和。 注意:从级数加括号后的收敛,不能推断加括号前的级数也收敛(即去括号法则不成立)。 如:(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+ 收敛,而级数 是发散的 性质4(收敛的必要条件)若级数∑un收敛,则→0(n→∞)。 注:1→0(m→∞)只是级数∑un收敛的必要条件,不是充分条件。《数学分析（1，2，3）》教案 9-3 若部分和数列 Sn  发散，则称数项级数   n=1 n u 发散。当级数收敛时，又称 1 n n k k n r S S u  = + = − =  为级数的余和。 注：无穷级数的收敛问题，实质上是部分和数列的收敛问题。 例: 试讨论等比级数（几何级数）   = − − = + + + + + 1 1 2 1 n n n aq a aq aq  aq ，(a  0) 的收敛性。 例:讨论级数  + + + +  +  +  ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性。 三 收敛级数的性质 性质 1 若级数   n=1 n u 都有收敛，则对任意常数 a ，级数 1 n n au  =  也收敛，且 1 n n au  =  1 n n a u  = =  。 性质 2 若级数   n=1 n u 与   n=1 n v 都有收敛，则级数 1 ( ) n n n u v  =  + 也收敛，且 1 ( ) n n n u v  =  + 1 1 n n n n u v   = = = +   。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 性质 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + = 0+ 0++ 0+ 收敛，而级数 1−1+1−1+ 是发散的。 性质 4 （收敛的必要条件）若级数   n=1 n u 收敛，则 u n n → →  0( ) 。 注： u n n → →  0( ) 只是级数   n=1 n u 收敛的必要条件，不是充分条件