《数学分析(1,2,3)》教案 例:级数∑发散,但→0 敛散性是由它的部分和数列S}来确定的,因而也可以认为数项级数∑n是数列Sn}的另一表现形 式。反之,对于任意的数列{an},总可视其为数项级数 ∑un=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a 的部分和数列,此时数列{an}与级数a1+(a2-a1)+(a23-a2)+…+(an-an)+…有 相同的敛散性,因此,有 定理1(Cacy收敛原理)级数∑un收敛的充要条件是:任给正数E,总存在正整数N,使得当n>N以 及对任意的正整数p,都有 注:级数∑un发散的充要条件是:存在某个E0>0,对任何正整数N,总存在正整数m(>N,P,有 +lln+…+ 例:利用收敛原理来判断级数∑的收敛性。 例:利用收敛原理来判断调和级数∑的收敛性 3正项级数 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同,则称为同号级数。而对于同号级数,只须研究各项都由非负项数组成的级数 正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号,而这并不影响其收敛性 基本定理正项级数∑Un收敛台部分和数列Sn}有上界 正项级数的比较判别法 定理1设∑n和∑n均为正项级数,如果存在某个正数N,使得对n>N都有《数学分析（1，2，3）》教案 9-4 例：级数 1 1 n n  =  发散，但 1 0 n → 。 敛散性是由它的部分和数列 Sn  来确定的，因而也可以认为数项级数   n=1 n u 是数列 Sn  的另一表现形 式。反之，对于任意的数列 an  ，总可视其为数项级数   n=1 n u = a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 的部分和数列，此时数列 an  与级数 a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 有 相同的敛散性，因此，有 定理 1（Cauchy 收敛原理） 级数   n=1 n u 收敛的充要条件是：任给正数  ，总存在正整数 N ，使得当 n N 以 及对任意的正整数 p ，都有 1 2 n n n p u u u  + + + + + +  。 注：级数   n=1 n u 发散的充要条件是：存在某个  0  0 ，对任何正整数 N，总存在正整数 0 0 m ( N), p ，有 0 1 0 2 0 0 0 + + +   um + um +  um + p 。 例：利用收敛原理来判断级数 2 1 1 n n  =  的收敛性。 例：利用收敛原理来判断调和级数 1 1 n n  =  的收敛性。 §3 正 项 级 数 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由非负项数组成的级数 ——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 基本定理 正项级数   n=1 n u 收敛  部分和数列 Sn  有上界。 正项级数的比较判别法 定理 1 设   n=1 n u 和   n=1 n v 均为正项级数，如果存在某个正数 N，使得对 n  N 都有