《数学分析(1,2,3)》教案 那么(1)若级数∑n收敛,则级数∑un也收敛 (2)若级数∑n发散,则级数∑vn也发散 例:考察 的收敛性 推论(比较判别法的极限形式)设un和∑vn是两个正项级数,若 l lim -n=l, 则(1)当0<1<+∞时,级数∑un、∑v同时收敛或同时发散: (2)当=0且级数∑n收敛时,级数∑n也收敛: (3)当l=+∞且∑v发散时,级数∑n也发散。 例:讨论级数∑ 的收敛性 例:讨论级数∑sin的收敛性 柯西判别法 定理2设∑un为正项级数,且存在某个正整数N及正常数l, (1)若对n>N,有Vns1<1,则级数∑un收敛 (2)若对>N,有n21,则级数∑un发散。 推论(柯西判别法的极限形式)设∑un为正项级数,且 lim/u 则(1)当r<1时,级数∑n收敛 (2)当r>1(可为+∞)时,级数∑un发散 9-5《数学分析（1，2，3）》教案 9-5 n n u cv  ， 那么（1）若级数   n=1 n v 收敛，则级数   n=1 n u 也收敛； （2）若级数   n=1 n u 发散，则级数   n=1 n v 也发散。 例: 考察 2 1 1 n n n 1  = + +  的收敛性。 推论（比较判别法的极限形式） 设   n=1 n u 和   n=1 n v 是两个正项级数，若 l v u n n n = → lim ， 则 （1） 当 0  l  + 时，级数   n=1 n u 、   n=1 n v 同时收敛或同时发散； （2）当 l = 0 且级数   n=1 n v 收敛时，级数   n=1 n u 也收敛； （3）当 l = + 且   n=1 n v 发散时，级数   n=1 n u 也发散。 例: 讨论级数 1 2 n + n  的收敛性。 例: 讨论级数  n 1 sin 的收敛性。 柯西判别法 定理 2 设 un 为正项级数，且存在某个正整数 N 及正常数 l ， （1）若对  n N ，有 n un  l  1 ，则级数 un 收敛； （2）若对  n N ，有 n un  1 ，则级数 un 发散。 推论（柯西判别法的极限形式）设 un 为正项级数，且 lim n n n u r −− → = ， 则 （1）当 r 1 时，级数 un 收敛； （2）当 r 1 （可为 + ）时，级数 un 发散；