《数学分析(1,2,3)》教案 (3)当r=1时,级数∑n可能收敛,也可能发散。如:∑,∑ 例:讨论级数 ∑2+ 的敛散性 达朗贝尔判别法 定理3设∑n为正项级数,且存在某个正整数N及常数q∈(01) (1)若对n>N,有≤q,则级数∑un收敛 (2)若对Ⅶm>N,有≥1,则级数un发散 推论设∑n为正项级数,且 lm -=9, 则(1)当q<1时,级数∑n收敛 (2)当q>1(可为+∞)时,级数∑n发散 (3)当q=1时,级数∑un可能收敛,也可能发散。如:∑,∑ 例:讨论级数 的收敛性 例:讨论级数∑mx"(x>0)的收敛性。 说明:因m-=q→lm《ln=q,这就说明凡能用达朗贝尔判别法判定收敛性的级数,也能用柯西 判别法来判断,即柯西判别法较之达朗贝尔判别法更有效。但反之不能。 柯西积分判别法 定理4设f(x)为1+x)上非负减函数,则正项级数∑f(m)与反常积分厂f(x)同时收敛或同时发散 例:讨论下列级数 (2) siNn 的敛散性。 §4任意项级数《数学分析（1，2，3）》教案 9-6 （3）当 r =1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如：  n 1 ， 2 1 n 。 例：讨论级数  + − n n 2 2 ( 1) 的敛散性。 达朗贝尔判别法 定理 3 设 un 为正项级数，且存在某个正整数 N 及常数 q (0,1) ： （1） 若对  n N ，有 q u u n n  +1 ，则级数 1 n n u  =  收敛 ； （2） 若对  n N ，有 1 1  + n n u u ，则级数 1 n n u  =  发散。 推论 设 un 为正项级数，且 q u u n n n = + → 1 lim ， 则（1）当 q  1 时，级数 un 收敛； （2） 当 q  1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3） 当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如：  n 1 ， 2 1 n 。 例：讨论级数 1 n s n a n  =  的收敛性。 例：讨论级数 ( 0) n nx x  的收敛性。 说明：因 + =  → q u u n n n 1 lim n un q n = → lim ，这就说明凡能用达朗贝尔判别法判定收敛性的级数，也能用柯西 判别法来判断，即柯西判别法较之达朗贝尔判别法更有效。但反之不能。 柯西积分判别法 定理 4 设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则正项级数  f (n) 与反常积分  + 1 f (x)dx 同时收敛或同时发散。 例: 讨论下列级数 （1）   =1 1 n p n ，（2） 2 1 n n n ln  =  ， 的敛散性。 §4 任意项级数