《数学分析(1,2,3)》教案 绝对收敛级数 定义1若级数∑Un各项绝对值所组成的级数∑n收敛,则称原级数∑un绝对收敛。若级数∑un收敛, 但级数∑叫发散,则称级数∑un条件收敛 定理1绝对收敛的级数一定收敛。但反之不然 注:例如∑( 说明:对于级数是否绝对收敛,可用正项级数的各判别法进行判别 例:对任何实数a,级数∑是绝对收敛的 若级数∑un收敛,但级数∑|l}发散,则称级数∑u,条件收敛 例:∑(-1y“-1,是条件收敛的:∑(y4 n -1) 和∑(-1)1,n是绝对收敛的 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 二交错级数 定义2若级数的各项符号正负相间,即 (u,>0,n) 称为交错级数 定理2(莱布尼茨判别法)若交错级数∑(-1)”un满足下述两个条件 (1)数列{an}单调递减:(2)lmn=0 则级数∑(-1)"un收敛。且此时有∑(-1)un|≤u 推论若级数∑(-1)un满足莱布尼茨判别法的条件,则其余和估计式为 例:判别下列级数的收敛性:(1)∑(-1-:(2)∑(-1 :(3)∑(-1) (2n+ 三阿贝耳判别法和狄立克莱判别法《数学分析（1，2，3）》教案 9-7 一 绝对收敛级数 定义 1 若级数 1 n n u  =  各项绝对值所组成的级数 1 n n u  =  收敛，则称原级数 1 n n u  =  绝对收敛。若级数 1 n n u  =  收敛， 但级数 1 n n u  =  发散，则称级数 1 n n u  =  条件收敛。 定理 1 绝对收敛的级数一定收敛。但反之不然。 注：例如 ( ) 1 1 n n n  = −  . 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例：对任何实数  ，级数   =1 ! n n n  是绝对收敛的。 若级数 un 收敛，但级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛。 例： 1 1 ( 1) 1 1 +  −  = + n n n 是条件收敛的； (2 1)! 1 ( 1) 1 1 −  −  = + n n n 和 n n n n 10 ( 1) 1 1   = + − 是绝对收敛的。 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 二 交错级数 定义 2 若级数的各项符号正负相间，即   = + − 1 1 ( 1) n n n u ，(u 0, n) n   称为交错级数。 定理 2（莱布尼茨判别法） 若交错级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足下述两个条件： （1） 数列 un  单调递减； （2） lim = 0 → n n u 。 则级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。且此时有 1 1 1 ( 1) u u n n n  −   = + 。 推论 若级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足莱布尼茨判别法的条件，则其余和估计式为 1 1 1 ( 1)k n k n k n r u u  + + = + = −   。 例：判别下列级数的收敛性：（1） 1 1 ( 1) 1 n n n  = − +  ；（2） 1 1 1 ( 1) (2 1)! n n n  + = − +  ；（3） 1 1 ( 1) 5 n n n n  + =  − 。 三 阿贝耳判别法和狄立克莱判别法