微分流形上微分学——流形上的微分运算一Lie导数谢锡麟 定理1.3(相对于张量不同表示形式的Lie导数之间的关系).不失一般性,以三阶张量为例, 成立有如下等式: Lv(:918g⑧9k)-Lv(④9g18989)=2Djsp918919k, Lv(的;918g389)-Lv;gsg39k)=-2D少9189y89k, Lv(:918g⑧9k)-Lv(④:k9②9;89) =-2Dp39g18919k+2Dp918g19k 可见,在上述等式中变形率张量“替代”了度量张量起到了“指标升降”的作用.对刚体运动,变 形率张量为零张量,就此相对于张量不同表示形式的Lie导数具有相同形式的Le导数,从而具 有整体形式 笔者谨认为,对于连续介质力学而言,Le导数是一种“新型的”由介质质点所携带的张量分 量(并非整体形式)的随时间的变化率 性质1.4(Lie导数的基本性质).Lie导数具有如下基本性质 Lvf=v( Lvgi-OF(a)9jy Lv(ug)=[V,u]=vam(a)-u'a(a)9i Lvedvi au av a/()g Ozl tuor(x)9' 此处, Poisson括号定义为 oVi IV,u]=[VgL, ugil-azae)9i- axi(2)91=vo(s)-uar(a) gi 证明首先,按Lie导数的定义 Lvf(e)4 lim f(E+ Vt+o(t))-f(5) 因为 f(s+Vt +o(t))=f(E)+ o(ev't+o(t), 所以 Lvf(￡) ①参见??(第??页)微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 定理 1.3 (相对于张量不同表示形式的 Lie 导数之间的关系). 不失一般性, 以三阶张量为例, 成立有如下等式: LV (Φ i · · j k gi ⊗ g j ⊗ gk ) − LV (Φ ijkgi ⊗ gj ⊗ gk ) = 2DjsΦ iskgi ⊗ g j ⊗ gk , LV (Φ i · · j k gi ⊗ g j ⊗ gk ) − LV (Φ · i · j k g i ⊗ g j ⊗ gk ) = −2DisΦ · s · j k gi ⊗ g j ⊗ gk , LV (Φ i · · j k gi ⊗ g j ⊗ gk ) − LV (Φ · i j · kg i ⊗ gj ⊗ g k ) = −2DisΦ · s · j k gi ⊗ g j ⊗ gk + 2DjsΦ iskgi ⊗ g j ⊗ gk . 可见, 在上述等式中变形率张量➀“替代” 了度量张量起到了 “指标升降” 的作用. 对刚体运动, 变 形率张量为零张量, 就此相对于张量不同表示形式的 Lie 导数具有相同形式的 Lie 导数, 从而具 有整体形式. 笔者谨认为, 对于连续介质力学而言, Lie 导数是一种 “新型的” 由介质质点所携带的张量分 量 (并非整体形式) 的随时间的变化率. 性质 1.4 (Lie 导数的基本性质). Lie 导数具有如下基本性质: 1. LV f = V (f); 2.    LV gi = − ∂V j ∂xi (x)gj , LV g i = ∂V i ∂xj (x)g j ;    LV (u i gi ) = [V ,u] = [ V l ∂ui ∂xl (x) − u l ∂V i ∂xl (x) ] gi , LV (uig i ) = [ V l ∂ui ∂xl + ul ∂V l ∂xi (x) ] g i . 此处, Poisson 括号定义为 [V ,u] = [V l gl , ui gi ] , V l ∂ui ∂xl (x)gi − u i ∂V l ∂xi (x)gl = [ V l ∂ui ∂xl (x) − u l ∂V i ∂xl (x) ] gi . 证明 首先, 按 Lie 导数的定义 LV f(ξ) , lim t→0 f(ξ + V t + o(t)) − f(ξ) t . 因为 f(ξ + V t + o(t)) = f(ξ) + ∂f ∂ξl (ξ)V l t + o(t), 所以 LV f(ξ) = V l ∂f ∂ξl (ξ) =: V (ξ)(f), ➀ 参见??(第??页). 12