微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 综上,可有 Lv(/9:89)-Lv(9"⑧9) [(VsP)9+(VVs)pps -(VpVs) +(V,v9)p g8 ga [(Vs Vp+ VpVs)9+(VVs+Vv9)ps]9P89 =2(Dpy+D~重ps)92②9 。91②g2+2D91 考虑三阶张量的Le导数 (g1891gk) 10;a avk 计-少2)918989 =v(v;一时;+时一 oxl gbl.k avs: I O :y"918gn89k avl pg:89p③9k, Lvg19189) aVril)9:89p6gk v(d-r2--)-a Ol go'pkovpgilk 9;②9p③9 可有 Lv(918g89)-Lv(g1③9n89) (G4+)+mp时+m199 ax+rsv)gipgi-+(ave+rrv)91 89k (VV)gP.s+(VsV 9:89p89k (VPVs+SvP)s9i 09, 9r 2Dg189189k=2Dp918939k 综合上述分析,可归纳Lie导数依赖于张量具体表示形式的关系微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 综上, 可有 LV (Φ i ·jgi ⊗ g j ) − LV (Φ · p q g p ⊗ gp ) = [ −(∇sVp)Φ sq + (∇qV s )Φps − (∇pV s )Φ · s q + (∇sV q )Φ · p s ] g p ⊗ gq = [−(∇sVp + ∇pVs)Φ sq + (∇qV s + ∇sV q )Φps] g p ⊗ gq = 2 (−DpsΦ sq + DsqΦps) g p ⊗ gq = −2DisΦsjgi ⊗ g j + 2DjsΦ isgi ⊗ g j . 考虑三阶张量的 Lie 导数: LV (Φ i · · j k gi ⊗ g j ⊗ gk ) = ( V l ∂Φi · · j k ∂xl − ∂V i ∂xl Φ l· j k + ∂V l ∂xj Φ i · · l k − ∂V k ∂xl Φ i · · j l ) gi ⊗ g j ⊗ gk = [ V l ( ∇lΦ i · · j k − Γ i lsΦ s · · j k + Γ s ljΦ i · · s k − Γ k lsΦ i · · j s · ) − ∂V i ∂xl Φ l· j k + ∂V l ∂xj Φ i · · l k − ∂V k ∂xl Φ i · · j l ] g jpgi ⊗ gp ⊗ gk = [ V l ( ∇lΦ ipk − Γ i lsΦ spk + Γ s ljg jpΦ i · · s k − Γ k lsΦ ips) − ∂V i ∂xl Φ lpk + ∂V l ∂xj g jpΦ i · · l k − ∂V k ∂xl Φ ipl] gi ⊗ gp ⊗ gk , LV (Φ ipkgi ⊗ gp ⊗ gk ) = ( V l ∂Φipk ∂xl − ∂V i ∂xl Φ lpk − ∂V p ∂xl Φ ilk − ∂V k ∂xl Φ ipl) gi ⊗ gp ⊗ gk = [ V l ( ∇lΦ ipk − Γ i lsΦ spk − Γ p lsΦ isk − Γ k lsΦ ips) − ∂V i ∂xl Φ lpk − ∂V p ∂xl Φ ilk − ∂V k ∂xl Φ ipl] gi ⊗ gp ⊗ gk , 可有 LV (Φ i · · j k gi ⊗ g j ⊗ gk ) − LV (Φ ipkgi ⊗ gp ⊗ gk ) = [ V l ( Γ s ljg jpΦ i · · s k + Γ p lsΦ isk) + ∂V l ∂xj g jpΦ i · · l k + ∂V p ∂xl Φ ilk] gi ⊗ gp ⊗ gk = [(∂V s ∂xj + Γ s jlV l ) g jpΦ i · · s k + ( ∂V p ∂xs + Γ p slV l ) Φ isk] gi ⊗ gp ⊗ gk = [ (∇jV s )g jpΦ i · · s k + (∇sV p )Φ isk] gi ⊗ gp ⊗ gk = (∇pVs + ∇sV p ) Φ iskgi ⊗ gp ⊗ gk = 2Dp · sΦ iskgi ⊗ gp ⊗ gk = 2DjpΦ ipkgi ⊗ g j ⊗ gk . 综合上述分析, 可归纳 Lie 导数依赖于张量具体表示形式的关系. 11