微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 考虑仿射量的Le导数 Lv(,9:8)=(vddb! aL +重1)9;8g V(V;-:;+) ④Dw49pyg289q V(V①一9+gpy) 9q aso 9p ad5.q Lv(vg"⑧gn)=(v axl arp g"⑧g 可有 Lv(,91g3)-Lv匝g2g) V(-;9+(”一29m+rgyp) agip p+ a9、O avi Oar'p9P69g 具体处理上式右端,可有 第一部分 arl =-(VV)9=-(VV)吗, 第二部分 v'rsg4pst axj +Till (VV)9p, (vVs)pps 第三部分 1o:9_O D7+F2V)=-(Vv), 第四部分 VIp. avq avq Dx2+rV)=()微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 考虑仿射量的 Lie 导数 LV (Φ i ·jgi ⊗ g j ) = ( V l ∂Φi ·j ∂xl − ∂V i ∂xl Φ l ·j + ∂V l ∂xj Φ i ·l ) gi ⊗ g j = [ V l ( ∇lΦ i ·j − Γ i lsΦ s · j + Γ s ljΦ i ·s ) − ∂V i ∂xl Φ l ·j + ∂V l ∂xj Φ i ·l ] gipg jqg p ⊗ gq = [ V l ( ∇lΦ · p q − Γ i lsgipΦ sq + Γ s ljg jqΦps) − ∂V i ∂xl gipΦ lq + ∂V l ∂xj g jqΦpl] g p ⊗ gq = [ V l ( ∂Φ· p q ∂xl − Γ s lpΦ · s q + Γ q lsΦ · p s ) − Γ i lsgipΦ sq + Γ s ljg jqΦps − ∂V i ∂xl gipΦ lq + ∂V l ∂xj g jqΦpl] g p ⊗ gq , LV (Φ · p q g p ⊗ gq ) = ( V l ∂Φ· p q ∂xl + ∂V l ∂xp Φ · l q − ∂V q ∂xl Φ · p l ) g p ⊗ gp , 可有 LV (Φ i ·jgi ⊗ g j ) − LV (Φ · p q g p ⊗ gq ) = [ V l ( −Γ s lpΦ · s q + Γ q lsΦ · p s − Γ i lsgipΦ sq + Γ s ljg jqΦps) − ∂V i ∂xl gipΦ lq + ∂V l ∂xj g jqΦpl − ∂V l ∂xp Φ · l q + ∂V q ∂xl Φ · p l ] g p ⊗ gq . 具体处理上式右端, 可有 第一部分 −V lΓ i lsgipΦ sq − ∂V i ∂xl gipΦ lq = − ( ∂V i ∂xs + Γ i slV l ) gipΦ sq = − ( ∇sV i ) gipΦ sq = −(∇sVp)Φ sq , 第二部分 ∇lΓ s ljg jqΦps + ∂V l ∂xj g jqΦpl = ( ∂V s ∂xj + Γ s jlV l ) g jqΦps = (∇jV s )g jqΦps = (∇qV s )Φps, 第三部分 −V lΓ s lpΦ · s q − ∂V l ∂xp Φ · l q = − ( ∂V s ∂xp + Γ s plV l ) Φ · s q = −(∇pV s )Φ · s q , 第四部分 V lΓ q lsΦ · p s + ∂V q ∂xl Φ · p l = ( ∂V q ∂xs + Γ q slV l ) Φ · p s = (∇sV q )Φ · p s . 10