微分流形上微分学—流形上的微分运算—Lie导数 谢锡麟 故有 im2(x)(91③9)(x)-()9:8g), t→0 需+2②D 同理考虑 p.j(x)(G1⑧G)(x,t)-重E)(G1⑧G)(E) (2)b(20(6:)一)|(Gp8G)( 分6人(-() (∈) ∈t+o(t)31 aVp ()+(++(- g(E)Vasi (ξ ()少t+o(t), 故有 lim 中.(x)(G⑧G)x,t)一重:(E)(G1⑧G)(E) (6)V8V+m5(6)型(G8C)(E 以下说明,Lie导数的定义依赖于张量场的具体表示形式(张量分量可为协变分量、逆变分 量或者混合分量形式),.由此,一般而言,Lie导数不具有整体形式 考虑向量场的Le导数 (bg obi av b9:=vl(V16-1i56)ove axl =v(vb3-Fy、va,bgy Tiibs-Iis gijb ab, av j9 B2+m)9 可有 Ly(bgi)-Ly(big) V(ribs+lisgijo ava.b TiV bs as+riv)gi 9 [(V,VS)bs+(V,V)9i 6]9'=-(V, Vs+Vs)bg 2(Dsi 6)9'=-2Dbsgi微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的微分运算— Lie 导数 谢锡麟 故有 lim t→0 Φ i ·j (x)(gi ⊗ g j )(x) − Φ i ·j (ξ)( > gi ⊗ > g j )(ξ, t) t = [ ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l − ∂V i ∂ξl (ξ)Φ l ·j + ∂V l ∂ξj Φ i ·l ] (gi ⊗ g j )(x). 同理考虑 Φ i ·j (x)( < Gi ⊗ < Gj )(x, t) − Φ i ·j (ξ)(Gi ⊗ Gj )(ξ) = [ Φ i ·j (x) ∂ξp ∂xi (x, t) ∂xj ∂ξq (ξ, t) − Φ p · q(ξ) ] (Gp ⊗ Gq )(ξ), 分析 Φ i ·j (x) ∂ξp ∂xi (x, t) ∂xj ∂ξq (ξ, t) − Φ p · q(ξ) = [ Φ i ·j (ξ) + ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l t + o(t) i ·j ] [δ p i − ∂V p ∂ξi (ξ)t + o p i (t) ] [δ j q + ∂V j ∂ξq (ξ)t + o j q (t) ] − Φ p · q = [ ∂Φp · q ∂ξl (ξ)V l − ∂V p ∂ξi (ξ)Φ i ·q + ∂V j ∂ξq (ξ)Φ p · j ] t + o(t), 故有 lim t→0 Φ i ·j (x)( < Gi ⊗ < Gj )(x, t) − Φ i ·j (ξ)(Gi ⊗ Gj )(ξ) t = [ ∂Φi ·j ∂ξl (ξ)V l − ∂V i ∂ξl (ξ)Φ l ·j + ∂V l ∂ξj (ξ)Φ i ·l ] (Gi ⊗ Gj )(ξ). 以下说明, Lie 导数的定义依赖于张量场的具体表示形式 (张量分量可为协变分量、逆变分 量或者混合分量形式). 由此, 一般而言, Lie 导数不具有整体形式. 考虑向量场的 Lie 导数 LV (b i gi ) = ( V l ∂bi ∂xl − ∂V i ∂xl b l ) gi = [ V l (∇lb i − Γ i lsb s ) − ∂V i ∂xl b l ] gijg j = [ V l (∇lbj − Γ i lsgij b s ) − ∂V i ∂xl gij b l ] g j = [ V l ( ∂bj ∂xl − Γ s lj bs − Γ i lsgij b s ) − ∂V i ∂xl gij b l ] g j , LV (bjg j ) = ( V l ∂bj ∂xl + ∂V l ∂xj bl ) g j , 可有 LV (b i gi ) − LV (bjg j ) = [ −V l (Γ s lj bs + Γ i lsgij b s ) − ∂V i ∂xl gij b l − ∂V l ∂xj bl ] g j = − [(∂V s ∂xj + Γ s jlV l ) bs + ( ∂V i ∂xs + Γ i slV l ) gij b s ] g j = − [ (∇jV s )bs + (∇sV i )gij b s ] g j = − (∇jVs + ∇sVj ) b s g j = −2(Dsj b s )g j = −2Disbsgi . 9