有界性定理 若函数f在闭区间[a,b上连续,则∫在[a,b]上有界 证明:(应用有限覆盖定理证明) 由连续函数的局部有界性, x∈[a,b],3U(x;,),丑M>0使得 (x)≤Mx∈U(x:6)[a,61 考虑开区间集H={(x:6,)x∈[ab 显然H是a,b的一个无限开覆盖,由有限覆盖定理, 存在的一个有限子集H={(x:0)x∈[ab](=12,…,k一 有界性定理 若函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续,则 f 在 [a,b] 上有界. 证明: 由连续函数的局部有界性， x ' [a,b],U(x ' ; x ' ),M x '  0使得 ( ) ' ( ; ' ) [ , ]. ' f x M x U x a b  x   x  { ( ; ) [ , ]}, ' ' H U x ' x a b x 考虑开区间集 =   显然H是[a,b]的一个无限开覆盖， 由有限覆盖定理， H H {U(x ; ) x [a,b],i 1,2, , k} 存在 的一个有限子集  = i  i i  =  (应用有限覆盖定理证明)