例题 例2求调和函数u(x,y)=excosy-ey cosx的满足v(0,0)=0的共轭 调和函数v(x,y)以及解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)· 解由于u(x,y)在全平面调和，全平面是单连通的，故存在整函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y).此时根据Cauchy--Riemann方程， f'(z)=ux(x,y)+ivx(x,y)=ux(x,y)-iuy(x,y) =(ex cosy +ey sinx)+i(exsiny +ey cosx). 由于f'(z)解析，从而f'(z)形式上将不依赖于z,故可令z=z(即x= z,y=0),得例题 例2 求调和函数 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 cos𝑦 − 𝑒 𝑦 cos𝑥 的满足 𝑣 0,0 = 0 的共轭 调和函数 𝑣 𝑥, 𝑦 以及解析函数 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)． 解 由于 𝑢 𝑥, 𝑦 在全平面调和，全平面是单连通的，故存在整函数 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)．此时根据 Cauchy-Riemann 方程， 𝑓′ 𝑧 = 𝑢𝑥 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑥, 𝑦 − 𝑖𝑢𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 cos𝑦 + 𝑒 𝑦 sin 𝑥 + 𝑖(𝑒 𝑥 sin 𝑦 + 𝑒 𝑦 cos𝑥)． 由于 𝑓′ 𝑧 解析，从而 𝑓′ 𝑧 形式上将不依赖于 𝑧ҧ，故可令 𝑧ҧ= 𝑧（即 𝑥 = 𝑧，𝑦 = 0），得