第18讲、紧束缚近似 1、紧束缚近似的物理思想 1.紧東缚近似的物理思想 近自由电子近似回顾 2. Wannier画数 自由电子在是体势场中受散射 3.孤立原子的波函数蛆成Boch和 ·E(k)在 Brillouin区边界产生,形成一条条能带 4.s子紧束缚能带 换幅图象:原子处在一个晶格常数很大的结构 孤亩原子构成的晶体,电子束在孤立原子周 5.例:简单立方s电子的紧束婷能带 ·薹个M个孤宜原子的系统是一个M量简并的系统 6.紧束终能带LCAO方法 减小晶格常数至实际数值 7.经验紧束方法 孤亩原子不再孤立,波数会发生交选,相互作用 N并的孤立原子能级会消除简并,辰成能带 显然,这也是简并微扰的观点 那么这时,什么是零级近似?什么作为微扰? 种p∥45.2413che國体学 ∥Q45.24132 cache体理学 微扰的观点 N简并解 零氟近似N重简并的孤立原子解 ·孤立原子电子波函数满足的 Schroedinger方程 置京手的摩有一个原子,每个格点部有相 Fⅴ2+p原f(r]y(r)=E顺(r 都有相同的本征能量,即N简并‖级 ·对位于R的任一原胞的孤立原子,都有 相冋的波励数,但局域在各自格点上 ·徵扰把孤立原子势看作零级近似 2+vRf(r-R P(r-R)=E p(r-R) 而昌体势溪去孤亩原子势看作微扰 理想晶体中,R=0和R是完全等价的两个格点 设问:如何组合零级解?满足什么条件? ·如晶体有N个原胞,整个系純就是M简并的 M个简并原子波函数的线性组合构成昌体波励数 N简并能级E解子 注意:自由电子的解平面波在整个空间分布 ·显然,如果晶格常数减小至实际值 现在孤原子的解是局域的 ·N简并能级将消除 45.24112gche园体制学 体理学 微扰势 微扰法框架 ·对晶体的 Schroedinger方程 对晶休电子来说 Fⅴ2+H(r)y(r)=Ev() i。=i+解(r) ·把晶体势与某一原子势的差看作微扰 H'=∑f(r)=△F 卜r=4”(r)-r(r)=∑p“(r-R)-Fr(r)=F(r-n 简并微扰:引入微扰后得到的晶体电子的状 改写晶体势为原子势的組合减去原子势, 态应是零级近似的M个简并态的线性组合 Fv2+rkf()+r#(r)-v*f(r](r)=Ey(r) 剩下的问题是如何将孤立原子波函数进行缄 Fⅴ2+v(r)+△F(r)()=Ev(r) 与自由电子的解不同,有两个问题需要注意 1.孤立原子的解井不自动满足Bch定理 2.孤立原子的解都是局域的 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第18讲、紧束缚近似 1. 紧束缚近似的物理思想 2. Wannier函数 3. 孤立原子的波函数组成Bloch和 4. s电子紧束缚能带 5. 例：简单立方s电子的紧束缚能带 6. 紧束缚能带——LCAO方法 7. 经验紧束缚方法 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、紧束缚近似的物理思想 • 近自由电子近似回顾 * 自由电子在晶体势场中受散射 * E(k)在Brillouin区边界产生能隙，形成一条条能带 • 换幅图象：原子处在一个晶格常数很大的结构 * 孤立原子构成的晶体 ，电子束缚在孤立原子周围 * 整个N个孤立原子的系统是一个N重简并的系统 • 减小晶格常数至实际数值 * 孤立原子不再孤立，波函数会发生交迭，相互作用 * N重简并的孤立原子能级会消除简并，展宽成能带 • 显然，这也是简并微扰的观点 * 那么这时，什么是零级近似？什么作为微扰？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 微扰的观点 • 零级近似——N重简并的孤立原子解 * 假定原胞内只有一个原子，每个格点都有相同的孤 立原子的解 * 都有相同的本征能量，即N重简并能级 * 都有相同的波函数，但局域在各自格点上 • 微扰——把孤立原子势看作零级近似 * 而晶体势减去孤立原子势看作微扰 • 设问：如何组合零级解？满足什么条件? * N个简并原子波函数的线性组合构成晶体波函数 • 注意：自由电子的解平面波在整个空间分布 * 现在孤立原子的解是局域的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 N重简并解 • 理想晶体中，R=0和Rn是完全等价的两个格点 • 如晶体有N个原胞，整个系统就是N重简并的 * N重简并能级E原子 • 显然，如果晶格常数减小至实际值 * N重简并能级将消除 • 孤立原子电子波函数满足的Schroedinger方程 [ ( )] ( ) ( ) 2 r ϕ r ϕ r 原子 原子 − ∇ + V = E • 对位于R的任一原胞的孤立原子，都有 [ ( )] ( ) ( ) 2 − ∇ + r − R ϕ r − R = ϕ r − R 原子 原子 V E http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 微扰势 • 改写晶体势为原子势的组合减去原子势， [− ∇ + V ( ) r ]ψ () () r = Eψ r 2 晶体 • 对晶体的Schroedinger方程 • 把晶体势与某一原子势的差看作微扰 Δ = (r ) − (r ) = ∑ (r − R ) − (r ) = R 晶体 原子 原子 原子 V V V V V ∑≠ − 0 ( ) R r R 原子 V [− ∇ + V () () () r + V r − V r ]ψ ( ) r = Eψ (r ) 2 原子 晶体 原子 [− ∇ + V ( ) r + ΔV (r )]ψ () () r = Eψ r 2 原子 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 • 简并微扰：引入微扰后得到的晶体电子的状 态应是零级近似的N个简并态的线性组合 • 剩下的问题是如何将孤立原子波函数进行线 性组合？ • 与自由电子的解不同，有两个问题需要注意 1. 孤立原子的解并不自动满足Bloch定理 2. 孤立原子的解都是局域的 V V V = = Δ = + = + ∑≠ 0 0 0 ' ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ ' ˆ ˆ ˆ R H r H T r H H H 原子 原子 • 对晶体电子来说 微扰法框架