2、 Wannier函数 以R为中心的局域函数 ·看 Bloch定理的另一个推论 ·展开系数即"R)=、2(, y(k,r)=y(k+K,r) Bloch定理 2““ Bch函数也是k空间的周期函数,因此也可以 在实空间作 Fourier展开 2 (t-Ru(r-R) 变量总以rR出现,所以=(r-R) v(k, r)=N2 w(r, 就是说, Wannier函数是以R为中心的函 ·w(r,R)称为 Wannier函数,并且是以R为中心的 敷,即处于R的局城函敷 局城画数 可写成vkr)=∑m(-R“称为Bch和 种p∥45.2413che國体学 体理学 Wannier函数性质:正交归 3、孤立原子的波函数组成Boch和 作积分 ·如果 Wannier函数就是孤立原子的波函数,即 2“r,k,rlr ·那可用它组成如下的满足Boch定理的波函数 (k,r)= R)"kR ∑ 每个格点原子波函数乘以一个相因子后加起来 即局城于不同格点不同能带的 Wannier函数是 Bloch和:用局域函数构成广城数一 Block 即出现在任何原胞内的几率都相 问题一:可是孤立原子波函数并不正交 但可重新进行组合—正交化 45.24112gche园体制学 体理学 质疑:零级波函数线性组合? 零级波函数线性组合? ·在考虑零级波函数组合形式时,用了 Bloch定 理的推论:Boch函数在K空间也是周期函数 v(r)=∑cn(r-Rn) 作 Fourier展开后得到用 Wannier函敷局城函 数)组成的 Bloch和→质疑 问题二:微扰论≯使用零级近似波函数的线性 与Boch和比较,差别就是相因子 组合,即用原子波函数线性蛆合 ·看能不能用这样的组合得到同样的结论:即确 定系数c也有与格矢有关的相因子形式? v(k,r)=∑cnq(r-R,) 系数应该有微扰方程具体确定,现是固定系数 或者问,是不是最后也能得到具有Boch和形式的 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 2、Wannier函数 • 看Bloch定理的另一个推论 ψ (k , r ) = ψ (k + K , r ) • Bloch函数也是k空间的周期函数，因此也可以 在实空间作Fourier展开 ∑ ⋅ = R k R (k r ) (r , R ) i w e N 1 ψ , • w(r,R)称为Wannier函数，并且是以R为中心的 局域函数 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 以R为中心的局域函数 • 展开系数即 ∑ − ⋅ = k k R r R (k , r ) 1 ( , ) ψ i e N w ∑ − ⋅ ⋅ = k k R k r (r ) 1 e e u N i i = w(r − R ) Bloch定理Æ • 这就是说，Wannier函数是以R为中心的函 数，即处于R的局域函数 • 可写成 ∑ ⋅ = − R k R (k r ) (r R ) i w e N 1 ψ , 称为Bloch和 ( ) = ∑ − ⋅ − k k r R (r R ) 1 e u N i 变量总以r-R出现，所以 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 Wannier函数性质：正交归一 • 作积分 − − = ∫ w (r R ' )w (r R )dr * α β ∑ ∫ ⋅ − ⋅ = , ' ( ' ') * ( , ) ( ' , ) 1 k k i e d N k r k r r k R k R ψ α ψ β ∑ ⋅ − = k i e N δ αβ 1 k ( R R ') = δ αβ δ RR ' • 即局域于不同格点不同能带的Wannier函数是 正交归一的 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 3、孤立原子的波函数组成Bloch和 • 如果Wannier函数就是孤立原子的波函数，即 ∑ ⋅ = − R k R (k r ) (r R ) i e N ψ ϕ 1 , • 那可用它组成如下的满足Bloch定理的波函数 • 每个格点原子波函数乘以一个相因子后加起来 * Bloch和：用局域函数构成广域函数——Bloch和 * 即出现在任何原胞内的几率都相同 • 问题一：可是孤立原子波函数并不正交！ * 但可重新进行组合——正交化 [ (r )]ϕ (r ) ϕ (r ) 原子 原子 − ∇ + V = E 2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 质疑：零级波函数线性组合？ • 在考虑零级波函数组合形式时，用了Bloch定 理的推论：Bloch函数在K空间也是周期函数。 作Fourier展开后得到用Wannier函数(局域函 数)组成的Bloch和Æ质疑 • 问题二：微扰论Æ使用零级近似波函数的线性 组合，即用原子波函数线性组合 系数应该有微扰方程具体确定，现是固定系数 * 或者问，是不是最后也能得到具有Bloch和形式的 解？ = ∑ − n n n ψ (k , r ) c ϕ (r R ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 零级波函数线性组合？ • 与Bloch和比较，差别就是相因子 • 看能不能用这样的组合得到同样的结论：即确 定系数c也有与格矢有关的相因子形式？ = ∑ − n n n ψ (r ) c ϕ (r R )