·将其代入晶体的 Schroedinger方程 ·作变量变换,r'=rRa,得 ∑cn[-ⅴ2+r(r)-E}(r-R ∫'r g(r-Rn)左乘后积分,假定 -J(R-R)=E-E ∫(r-Rn)(r-R,)dr=6 这是组合系敷c为未知数的齐次线性方程组 由于其中系数只由RnR决定, c.p(r-RFv+va(r)-y8f(r-R.](r-R)dr ·变换n,对所有的联方程的解都变成同式 因此它应该有如下的形式 种p∥45.2413che國体学 体理学 代入∑J(B。-R,)e4,=(E-E) 4、s电子紧束缚能带 ∑J(R,)e*,= 先假定只考虑电子,即将孤立原子的s电子的 ·这说明如果系数用了与格夫有关的相因子的形 波函数的Boch和 式,所有的联立方程的解都变成同一条件,对 应同一本征值,E ·这是必须的,因此,系数c只能由与格夫有关 ·注意:孤立原子波函数是局域的, 和却是广城的,在任何原胞内新有相同的几率 的相因子确定,这是由周期性条件确定的 代入 Schroedinger方程 ·因此原子波函教的线性组合就是 Bloch和形式 满足 Bloch定理的的数 V(r)l(k, r)=E(ky(k, r) (r-Rn)=C∑q(r-R,)e (k,r)左乘后积分,可得 ∫v(k,rlv2+rykr)dr E(k)y(k,r)(k,r) 45.24112gche园体制学 趣452413 binche体嚼理学 积分 E(k)=y(k v+v l(k, r)dr ∫v'(k,r)y(k,r)dr ∑ g(r-R')Hφp(r-R)dr p(r-R)o(r-R) o(r)Ho(r-R")dr ∑e"jr)np(r-R)dr r ∑"j(np(r)-p"(r小 假定不同格点的原子波函数正交 方程右边E(k)jw'(k,r)v(k,r)dr=E(k) c^"」jg'rj(r)-p”(r 种45.2413yche是学 趣452413 binche物理学3 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 13 • 将其代入晶体的Schroedinger方程 [ ( ) ] ( ) 0 2 ∑ − ∇ + − − = n n V E n n c r ϕ r R 晶体 ϕ* (r − R m ) 左乘后积分，假定 [ ] ( ) m n n m n n E E c c V V d 原子 晶体 原子 = − ∑ − − ∇ + − − − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 ϕ r R r r R ϕ r R r ∫ ϕ − m ϕ − n d = δ mn (r R ) (r R ) r * • 则 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 14 • 这是组合系数c为未知数的齐次线性方程组。 由于其中系数只由Rm-Rn决定， * 变换n，对所有的联立方程的解都变成同一形式。 因此它应该有如下的形式： • 作变量变换，r’=r-Rm，得 [ ] ( ) m n n n m n m E E c c V V d 原子 晶体 原子 = − ∑ − ∇ + − − + − + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 ϕ r r r R R ϕ r R R r ( ) 原子 J E E c c n m n m n • 即 ∑ (R − R ) = − n i c n Ce k ⋅R = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 15 • 这说明如果系数用了与格矢有关的相因子的形 式，所有的联立方程的解都变成同一条件，对 应同一本征值，E • 这是必须的，因此，系数c只能由与格矢有关 的相因子确定，这是由周期性条件确定的 • 因此原子波函数的线性组合就是Bloch和形式 * 满足Bloch定理的函数 • 代入 ( ) ( ) 原子 J e E E n i m n n m ∑ − = − k ⋅ R − R (R R ) ( ) 原子 J e E E s i s s ∑ = − k ⋅R (R ) • 即 ∑ ∑ ⋅ = − = − n i n n n n n c C e k R ψ (r ) ϕ (r R ) ϕ (r R ) ∑ ⋅ = − n i n n e N k R ψ (k , r ) ϕ (r R ) 1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 16 4、 s电子紧束缚能带 • 注意：孤立原子波函数是局域的，但其Bloch 和却是广域的，在任何原胞内都有相同的几率 • 代入Schroedinger方程， [ (r )] (k , r ) (k ) (k , r ) 2 − ∇ + V ψ = E ψ (k , r ) 左乘后积分，可得 * ψ [ ] ∫ ∫ = − ∇ + (k ) (k , r ) (k r ) r (k , r ) (r ) (k r ) r * * E d V d , , 2 ψ ψ ψ ψ • 先假定只考虑s电子，即将孤立原子的s电子的 波函数的Bloch和 ∑ ⋅ = − R k R (k r ) (r R ) i e N ψ ϕ 1 , http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 17 • 积分 假定不同格点的原子波函数正交 ∫ (k , r ) (k r ) r * ψ ψ , d ∑ ∫ = − − ⋅ − R ,R ' k ( R R ') * e (r R') (r R )dr N i ϕ ϕ 1 (k ) (k , r ) (k r ) r (k ) * E d = E ∫ψ ψ , ∑ ∫ = − ⋅ R ,R " k R " * e (r ) (r R" )dr N i ϕ ϕ 1 ∑ ∫ = − ⋅ R k R * e (r ) (r R )dr i ϕ ϕ 1 = ∑ 0 = ⋅ R ,R k R δ i e • 方程右边 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 18 [ ] ∫ (k ) = (k , r ) − ∇ + (k r ) r * E V , d 2 ψ ψ ∑ ∫ = − − ⋅ − R ,R ' k ( R R ') * H (r R ) r ˆ e (r R') d N i ϕ ϕ 1 ∑ ∫ = − ⋅ R ,R " k R " * H (r R" ) r ˆ e (r ) d N i ϕ ϕ 1 ∑ ∫ = − ⋅ R k R * H (r R ) r ˆ e (r ) d i ϕ ϕ [ ] ∑ [ ] ∫ ∑ ∫ + − − = + − ⋅ ⋅ R k R * R k R * (r ) (r ) (r ) (r R ) r T (r ) (r R ) r ˆ (r ) e V V d e V d i i ϕ ϕ ϕ ϕ 原子 原子 ∑ [ ] ∫ ∑ ∫ + − − = − ⋅ ⋅ R k R * R k R * (r ) (r ) (r ) (r R ) r (r ) (r R ) r e V V d E e d i i ϕ ϕ ϕ ϕ 原子 原子