=E“+∑“jr(r)-p(r)p(r-R) 5、例:简单立方s电子的紧束缚能带 ∫(rp(r)-p(小 Jo(rl ob( 对处于原点的原子,有六个最 近郁:R=a(10.0.(-10.0)} +C+∑(R[又考惑最近邻 其中J(R)=j9r 2(cos k, a+ cos k, a+cos k a) 子是E(k)=E+C+∑J(R) ·原来N简并的能级E原于,现消除简并,与k有关 E(k)=ET+C+2J(cos k, a+cos k, a+ cos k, 种p∥45.2413che國体学 体理学 能带分析 E(k)=Et +C+2/(cos k, a+cos k, a+cos k, a) 在能带底和能带顶,看Boch和的相因子? 因J<0,能带的最小值在k=(0.0,0) 能带底 k=(0,0,0) 能带底的值为E小=E+C+6J ·所有的第一近邻给出等于1的相因子,增强 能带的最大值在比如k={±1±1,±1) 而在能带顶,如ks(±1++1) 能带顶的值为Ea大=E种+C-6J w(k, r) p(r-R) 能带宽度为AE=E最大-E最小=-12J ·所有的第一近邻给出等于1的相因子,减弱 45.24112gche园体制学 邮452413 binche体理学 6、紧束缚能带LCAO方法 讨论 如果考虑孤立原子有不同的s,p,道,那用 它们的波函数组合成不同的Boch和,以 用 Tannier画数构成 Bloch和是正交归一的,如 °(k,r)=-1 用原子波函数构成则不是正交归一的,但这一 点没有实质彩响,可以通过正交化手续使之正 交 ·以它们作为基函数,晶体波函数用 Bloch和的 线性组合,a表示不同的轨道 不一定要由原于波函数组成,可以用其他教学 性质较好的局城函数组成。实际适用中是用其 他局城函数比如 gauss数组成,使得积分简 因此,紧束缚方法也称为原子轨道线性组合 (linear combination of atomic orbitals, LCAO) 思考:原胞中不止一个原子的情况? 种的45.24132he园体物学 趣452413 binche物理学4 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 19 • 其中 ∑ [ ] ∫ = + − − ⋅ R k R * E e (r ) V (r ) V (r ) (r R )dr i ϕ ϕ 原子 原子 [ ] ∑ [ ] ∫ ∫ ≠ ⋅ + − − = + − 0 R k R * * (r ) (r ) (r ) (r R ) r (r ) (r ) (r ) (r ) r e V V d E V V d i ϕ ϕ ϕ ϕ 原子 原子 原子 ∑ [ ] ∫ + − − = + ⋅ 最近邻 原子 原子 R k R e r V r V r r R dr E C i ( ) ( ) ( ) ( ) * ϕ ϕ ∑ ( ) ⋅ = + + 最近邻 原子 R k R R i E C J e ( ) [ ] ∫ = ( ) ( ) − ( ) ( − ) < 0 * J R ϕ r V r V r ϕ r R dr 原子 ∑ ( ) ⋅ = + + 最近邻 原子 R k R k R i E ( ) E C J e 只考虑最近邻 • 原来N简并的能级E原子，现消除简并，与k有关 • 于是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 20 5、例：简单立方s电子的紧束缚能带 • 对处于原点的原子，有六个最 近邻： { } { } { } (0,0,1), (0,0, 1) (0,1,0), (0, 1,0) (1,0,0), ( 1,0,0) = − = − = − a a R a ( ) i ik x a ik x a ik y a ik y a ik z a ik z a e e e e e e e ⋅ − − − ∑ = + + + + + 最近邻 R k R E E C J ( k a k a k a ) x y z ( ) = + + 2 cos + cos + cos 原子 k ( k a k a k a ) x y z = 2 cos + cos + cos http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 21 • 因J<0，能带的最小值在 E = E + C + 6 J 原子 最小 • 能带的最大值在比如 = { } ( ) ± 1,±1,±1 a π k E = E + C − 6 J 原子 • 能带顶的值为 最大 • 能带宽度为 ΔE = E最大 − E最小 = −12 J E E C J ( k a k a k a ) x y z ( ) = + + 2 cos + cos + cos 原子 k • 能带底的值为 k = ( ) 0,0,0 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 22 能带分析 • 在能带底和能带顶，看Bloch和的相因子？ • 能带底 = ∑ − R k r (r R ) 1 ψ ( , ) ϕ N k = (0,0,0) • 所有的第一近邻给出等于1的相因子，增强 = ( ) ± 1,±1,±1 a π k ( ) ∑ ± ± ± = − R k r r R Rx R y Rz a i e N π ψ ϕ ( ) 1 ( , ) • 而在能带顶，如 • 所有的第一近邻给出等于-1的相因子，减弱 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 23 6、紧束缚能带——LCAO方法 ∑ ⋅ = − R k R (k r ) (r R ) i e N α α ψ ϕ 1 , • 以它们作为基函数。晶体波函数用Bloch和的 线性组合，α表示不同的轨道 (k , r ) (k ) (k , r ) α α α Ψ = ∑ C ψ • 因此，紧束缚方法也称为原子轨道线性组合 (linear combination of atomic orbitals, LCAO) • 如果考虑孤立原子有不同的s, p, d轨道，那用 它们的波函数组合成不同的Bloch和，以α标 记 • 思考：原胞中不止一个原子的情况？ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 24 讨论 • 用Wannier函数构成Bloch和是正交归一的，如 用原子波函数构成则不是正交归一的，但这一 点没有实质影响，可以通过正交化手续使之正 交 • 不一定要由原子波函数组成，可以用其他数学 性质较好的局域函数组成。实际运用中是用其 他局域函数比如Gauss函数组成，使得积分简 单